Імовірність протилежної події - студопедія
Протилежними називають два єдино можливих події, що утворюють повну групу. Якщо одна подія позначено А (або В), то протилежне йому подія прийнято позначати
Приклад 1.41. Влучення і промах при пострілі по цілі - протилежні події. Якщо А - потрапляння, то - промах.
Розглянемо деякий випадкова подія А, і нехай його ймовірність відома.
Теорема. Якщо ймовірність деякого випадкового події А відома і дорівнює Р (А), то ймовірність протилежної події визначається за формулою (1.18)
Доведення. Згідно аксіомі 3 (формула 1.16) для несумісних подій Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
В силу несумісності подій А і. і так як вони утворюють повну групу, згідно (1.15), (1.16) можемо записати
Слідство. тобто ймовірність неможливого події дорівнює нулю.
Примітка 1. Якщо ймовірність одного з двох протилежних подій позначена через р, то ймовірність іншого події позначають через q. Згідно з попередньою теоремою можемо записати q = 1 p. (1.18-а)
Звідси випливає запис p + q = 1, то естьсумма ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці.
За допомогою формули (1.18-а) визначається, наприклад, ймовірність промаху, якщо відома ймовірність попадання (або, навпаки, ймовірність попадання, якщо відома ймовірність промаху): наприклад, якщо ймовірність попадання для знаряддя 0,9, ймовірність промаху для нього 1 0,9 = 0,1.
Приклад 1.43. Завод виробляє 85% продукції першого сорту і 10% - другого. Решта вироби вважаються шлюбом. Яка ймовірність того, що взявши навмання виріб, ми отримаємо шлюб?
Рішення. Позначимо А - подія, що полягає в тому, що взятий виріб бракований Завдання зручно вирішувати, використовуючи вищевикладену теорему, тобто, через ймовірність протилежної події. що полягає в тому, що взяте вони не браковане, а першого або другого сорту. Імовірність цієї події одно q = 0,85 + 0,10 = 0,95. Тоді шукана ймовірність дорівнює р = 1 - q = 1 0,95 = 0,05.
Приклад 1.44. У ящику є п деталей, з яких m стандартних. Знайти ймовірність того, що серед k навмання витягнутих деталей естьхотя б одна стандартна.
Рішення. Події «серед витягнутих деталей є хоча б одна стандартна» і «серед витягнутих деталей немає жодної стандартної» - протилежні. Позначимо перша подія через А, а друге- через.
Очевидно, Р (А) = 1 - Р (). Знайдемо Р (). Загальна кількість способів, якими можна витягти k деталей з n деталей, так само. Число нестандартних деталей одно n-т; з цього числа деталей можна способами витягнути k нестандартних деталей. Тому ймовірність того, що серед витягнутих k деталей немає жодної стандартної, дорівнює Р () = / Звідси /.