Теорема додавання ймовірностей несумісних подій
Головна | Про нас | Зворотній зв'язок
Сумою А + В двох подій А і В називають подію, що складається в появі події А. або події В. або обох цих подій. Інакше: сумою А + В двох подій А і В називають подію, що складається в появі хоча б одного з цих подій.
Зокрема, якщо дві події А і В - несумісні, то А + В - подія, що складається в появі одного з цих подій, байдуже якого.
Сумою декількох подій називають подію, яка полягає в появі хоча б одного з цих подій.
Нехай події А і В - несумісні, причому ймовірності цих подій відомі. Як знайти ймовірність того, що настане або подія А. або подія В?
Відповідь на це питання дає теорема додавання ймовірностей несумісних подій.
Теорема. Імовірність появи одного з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
Доведення. Введемо позначення: n - загальне число можливих елементарних фіналів випробування; m1 - число випадків, що сприяють .собитію А; m2 - число випадків, що сприяють події В.
Число елементарних фіналів, що сприяють настанню або події А. або події В. одно m1 + m2. отже,
Слідство. Імовірність появи одного з декількох попарно несумісних подій, байдуже якого, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
Приклад. В урні 30 куль: 10 червоних, S синіх я 15 білих. Знайти ймовірність появи кольорового кулі.
Рішення. Поява кольорового кулі означає поява або червоного, або синього кулі. Імовірність появи червоної кулі (подія А)
Імовірність появи синього кулі (подія В)
Події А і В несумісні (поява кулі одного кольору виключає появу кулі іншого кольору), тому теорема складання може бути застосована.
Протилежними називають два єдино можливих події, що утворюють повну групу. Якщо одне з двох протилежних подій позначено через А. то інше прийнято позначати.
Приклад. Влучення і промах при пострілі по цілі - протилежні події. Якщо А - потрапляння, то - промах.
Теорема. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці:
Зауваження 1. Якщо ймовірність одного з двох протилежних подій позначена через р. то ймовірність іншого події позначають через q. Таким чином, в силу попередньої теореми p + q = 1
Приклад. Імовірність того, що день буде дощовим р = 0,7. Знайти ймовірність того, що день буде ясним.
Рішення. Події «день дощовий» і «день ясний» - протилежні, тому шукана ймовірність q = 1 - p = 1 - 0,7 = 0,3.
Зауваження 2. При вирішенні завдань на відшукання ймовірності події А часто вигідно спочатку обчислити вірогідність події. а потім знайти шукану ймовірність за формулою
Приклад. У ящику є n деталей, з яких m стандартних. Знайти ймовірність того, що серед k навмання витягнутих деталей є хоча б одна стандартна.
Рішення. Події «серед витягнутих деталей є хоча б одна стандартна» і «серед витягнутих деталей немає жодної стандартної» -протівоположние. Позначимо перша подія через А. а друге - через.
Знайдемо. Загальна кількість способів, якими можна витягти k деталей з n деталей, так само. Число нестандартних деталей одно n - m; з цього числа деталей можна способами витягнути k нестандартних деталей. Тому ймовірність того, что_среді витягнутих k деталей немає жодної стандартної, дорівнює.
Твором двох подій А і В називають подію АВ. яке у спільному появу (суміщення) цих подій. Наприклад, якщо А - деталь придатна, В - деталь забарвлена, то АВ - деталь придатна і пофарбована.
Твором кількох подій називають подію, яке у спільному появу всіх цих подій.
Наприклад, якщо А, В, С - поява «герба» відповідно в першому, другому і третьому киданнях монети, то ABC - випадання «герба» у всіх трьох випробуваннях.
Часто обчислюють ймовірність події В при додатковому умови, що відбулася подія А.
Умовною ймовірністю РА (В) називають ймовірність події В. обчислену в припущенні, що подія А вже настав.
Приклад. В урні 3 білих і 3 чорних кулі. З урни двічі виймають по одній кулі, які не повертаючи їх назад. Знайти ймовірність появи білої кулі при другому випробуванні (подія В), якщо при першому випробуванні був витягнутий чорна куля (подія А).
Рішення. Після першого випробування в урні залишилося 5 куль, з них 3 білих. Шукана умовна ймовірність