Теорема додавання ймовірностей
Теорема 2.1 (теорема додавання). Імовірність р (А + В) суми подій А і В дорівнює
Доведемо теорему додавання для схеми випадків. Нехай п - число можливих результатів досвіду, тА - число випадків, сприятливих події А. телевізорами - число випадків, сприятливих події В. а Тав - число фіналів досвіду, при яких відбуваються обидві події (тобто результатів, сприятливих твору АВ). Тоді число випадків, при яких має місце подія А + В. одно тА + телевізорами - Тав (так як в сумі (тА + телевізорами) ТАВ враховано двічі: як результати, сприятливі А. та наслідки, сприятливі В). Отже, ймовірність суми можна визначити за формулою (1.1):
що й потрібно було довести.
Слідство 1. Теорему 2.1 можна поширити на випадок суми будь-якого числа подій. Наприклад, для суми трьох подій А, В і С
Наслідок 2. Якщо події А і В несумісні, то Тав = 0, і, отже, ймовірність суми несумісних подій дорівнює сумі їх ймовірностей:
Визначення 2.1.Протівоположнимі подіями називають два несумісних події, що утворюють повну групу. Якщо одне з них назвати А. то друге прийнято позначати.
Зауваження. Таким чином, полягає в тому, що подія А не відбулося.
Теорема 2.2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1:
Так як А і утворюють повну групу, то одне з них обов'язково станеться в результаті досвіду, тобто подія А + є достовірним. отже,
Р (А +) = 1. Але, так як А і несумісні, з (2.4) випливає, що Р (А +) = р (А) + р (). Значить, р (А) + р () = 1, що й треба було довести.
Зауваження. У ряді завдань простіше шукати не ймовірність заданого події, а ймовірність події, протилежної йому, а потім знайти необхідну ймовірність за формулою (2.5).
Приклад. З урни, що містить 2 білих і 6 чорних куль, випадковим чином витягуючи-ються 5 куль. Знайти ймовірність того, що вийняті кулі різних кольорів.
Рішення. Подія, протилежне заданому, полягає в тому, що з урни вийнято 5 куль одного кольору, а так як білих куль в ній всього два, то цей колір може бути тільки чорним. Безліч можливих результатів досвіду знайдемо за формулою (1.5):
а безліч випадків, сприятливих події - це число можливих наборів по 5 куль тільки з шести чорних: