Зведення в квадрат суми і різниці двох виразів формули і приклади
Загальне правило множення многочленів говорить, що необхідно кожен член многочлена помножити на кожний член другого многочлена, і отримані твори скласти.
Формули скороченого множення
Але існує кілька випадків, коли множення виробляти повністю не треба, а існують вже готові формули, звані в алгебрі формулами скороченого множення многочленів або просто формулами скороченого множення.
Зробимо множення двох многочленів (a + b) і (a + b) або по-іншому зведемо многочлен (a + b) в квадрат.
Скористаємося загальним правилом множення многочленів:
(A + b) ^ 2 = (a + b) * (a + b) = a ^ 2 + a * b + b * a + b ^ 2 = a ^ 2 + 2 * a * b + b ^ 2;
Отже (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 * a * b + b ^ 2;
Дана формула називається квадратом суми двох виразів. Вона допоможе нам швидко зводити в квадрат суму будь-яких двох виразів.
Квадрат суми двох виразів
Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого виразу на другий вираз і плюс квадрат другого виразу.
Цей вираз було отримано вже давно і доведено (при позитивних значеннях) ще Евклидом в його «Засадах». Він довів це геометрично, розглядаючи площа квадрата зі стороною (a + b).
Квадрат різниці двох виразів
Спробуємо тепер обчислити добуток інших двох многочленів: (a-b) і (a-b) або по-іншому зведемо многочлен (a-b) в квадрат.
Знову ж скористаємося загальним правилом множення многочленів:
(A-b) ^ 2 = (a-b) * (a-b) = a ^ 2 - a * b -b * a + b ^ 2 = a ^ 2 - 2 * a * b + b ^ 2;
Тобто (a-b) ^ 2 = a ^ 2 -2 * a * b + b ^ 2;
Це ще одна формула, яка дозволить нам зводити в квадрат різницю двох будь-яких виразів.
Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток першого виразу на другий вираз і плюс квадрат другого виразу.
Так само слід зазначити, що точно таке ж вираження можна отримати і за допомогою першої формули, якщо уявити різницю (a -b) у вигляді суми (a + (-b)). Переконався в цьому.
(A + (- b)) ^ 2 = (a + (- b)) * (a + (- b)) = a ^ 2 + 2 * a * (- b) + (- b) ^ 2 = a ^ 2 - 2 * a * b + b ^ 2;
Видно, що вийшла еквівалентна формула.
Спробуємо застосувати одну з цих формул на якомусь простому прикладі.
Зведемо в квадрат многочлен (5 * x +3) ^ 2.
маємо:
(5 * x +3) ^ 2 =
(5 * x) ^ 2 + 2 * 3 * 5 * x + 3 ^ 2 =
25 * x ^ 2 + 30 * x +9.
Таким чином, ми розглянули зведення в квадрат суми і різниці двох виразів.