Сума квадратів k перших натуральних чисел дискретна математика, комбінаторика, теорія чисел

Ну ось один із способів: можна використовувати той факт, що сума значень деякого полінома N-го ступеня для натуральних чисел від 1 до n виражається у вигляді полінома N + 1-го ступеня від n:

Коефіцієнти полінома знаходите методом невизначених коефіцієнтів.

Наприклад, ось як можна це використовувати для знаходження виразу для суми чисел від 1 до n: оскільки підсумовуються значення полінома першого ступеня, результат представляється у вигляді полінома другого ступеня:

Розглядаємо значення для n = 1,2,3, отримуємо систему рівнянь для A, B, C:

n = 1: A + B + C = 1
n = 2: A + 2B + 4C = 3
n = 3: A + 3B + 9C = 6

Вирішуємо цю систему, отримуємо:
A = 0, B = C = 1/2, звідки:

Для квадратів (і більш високих ступенів) виконайте це самостійно.

Сама формула тут.

Десь формальний доказ я знаходив в інтернеті, пошукайте як слід. Можна вивести "в лоб" (один спосіб) або "здогадатися" і довести по індукції (другий).

Додано через 2 хвилини 24 секунди:

Взагалі ж загальний спосіб такий: розгляньте різниця послідовних значень більш високих ступенів. Для другої розгляньте

Ці різниці по послідовним легко підсумовуються (проміжні члени скорочуються), а через них потрібна Вам сума виражається.