відкрита фізика
Вільні коливання. математичний маятник
Математичним маятником називають тіло невеликих розмірів, підвішене на тонкій нерастяжимой нитки, маса якої дуже мала в порівнянні з масою тіла. У положенні рівноваги, коли маятник висить по схилу, сила тяжіння m g → врівноважується силою натягу нитки F → упр. При відхиленні маятника з положення рівноваги на деякий кут φ з'являється дотична складова сили тяжіння Fτ = -mg sin φ (рис. 2.3.1). Знак «мінус» у цій формулі означає, що дотична складова спрямована в бік, протилежний відхиленню маятника.
Математичний маятник. φ - кутове відхилення маятника від положення рівноваги, x = lφ - зміщення маятника по дузі
Якщо позначити через x лінійний зсув маятника від положення рівноваги по дузі кола радіуса l. то його кутовий зсув дорівнюватиме φ = x / l. Другий закон Ньютона, записаний для проекцій векторів прискорення і сили на напрямок дотичної, дає: m a τ = F τ = - m g sin x l.
Це співвідношення показує, що математичний маятник являє собою складну нелінійну систему, так як сила, яка прагне повернути маятник в положення рівноваги, пропорційна не усунуте x. а sin x l.
Тільки в разі малих коливань, коли наближено sin x l можна замінити на x l. математичний маятник є гармонійним осцилятором. т. е. системою, здатною здійснювати гармонічні коливання. Практично таке наближення справедливо для кутів близько 15-20 °; при цьому величина sin x l відрізняється від x l не більше ніж на 2%. Коливання маятника при великих амплітудах не є гармонійними.
Для малих коливань математичного маятника другий закон Ньютона записується у вигляді m a τ = - m g l x.
Таким чином, тангенціальне прискорення aτ маятника пропорційно його зміщення x. взятому з протилежним знаком. Це як раз той умова, при якому система є гармонійним осцилятором. За загальним правилом для всіх систем, здатних здійснювати вільні гармонічні коливання, модуль коефіцієнта пропорційності між прискоренням і зміщенням з положення рівноваги дорівнює квадрату кругової частоти: ω 0 2 = g l; ω 0 = g l.
Ця формула виражає власну частоту малих коливань математичного маятника.
Отже, T = 2 π ω 0 = 2 π l g.
Будь-яке тіло, насаджене на горизонтальну вісь обертання, здатне здійснювати в поле тяжіння вільні коливання і, отже, також є маятником. Такий маятник прийнято називати фізичним (рис. 2.3.2). Він відрізняється від математичного тільки розподілом мас. У положенні стійкої рівноваги центр мас C фізичного маятника знаходиться нижче осі обертання О на вертикалі, що проходить через вісь. При відхиленні маятника на кут φ виникає момент сили тяжіння, який прагне повернути маятник в положення рівноваги: M = - (mg sin φ) d.
Тут d - відстань між віссю обертання і центром мас C.
Знак «мінус» у цій формулі, як зазвичай, означає, що момент сил прагне повернути маятник в напрямку, протилежному його відхилення з положення рівноваги. Як і в разі математичного маятника, який повертає момент M пропорційний sin φ. Це означає, що тільки при малих кутах φ. коли sin φ ≈ φ. фізичний маятник здатний здійснювати вільні гармонічні коливання. У разі малих коливань M = -m g dφ. і другий закон Ньютона для фізичного маятника приймає вигляд (див. §1.23) I ε = M = -m g dφ. де ε - кутове прискорення маятника, I - момент інерції маятника щодо осі обертання O. Модуль коефіцієнта пропорційності між прискоренням і зміщенням дорівнює квадрату кругової частоти: ω 0 2 = m g d I або ω 0 = m g d I.
Тут ω0 - власна частота малих коливань фізичного маятника.
Отже, T = 2 π ω 0 = 2 π I m g d.
Більш суворий висновок формул для ω0 і T можна зробити, якщо взяти до уваги математичний зв'язок між кутовим прискоренням і кутовим зміщенням: кутове прискорення ε є друга похідна кутового зміщення φ за часом: ε (t) = φ ċ ċ (t).
Тому рівняння, що виражає другий закон Ньютона для фізичного маятника, можна записати у вигляді φ ċ ċ + m g d I φ = 0.
Це рівняння вільних гармонійних коливань (див. Рівняння (*) §2.2). Коефіцієнт m g d I в цьому рівнянні має сенс квадрата кругової частоти вільних гармонійних коливань фізичного маятника.
По теоремі про паралельне перенесення осі обертання (теорема Штейнера) момент інерції I можна виразити через момент інерції IC щодо осі, що проходить через центр мас C маятника і паралельної осі обертання: I = IC + md 2.
Остаточно для кругової частоти ω0 вільних коливань фізичного маятника виходить вираз: ω 0 = m g d I C + m d 2.