Сума і перетин підпросторів
Нехай - дані підпростору простору. Зазвичай їх ставлять у вигляді лінійних оболонок систем векторів або як безлічі рішень деяких однорідних систем лінійних рівнянь, а самі вектори- координатними рядками в деякому базисі. Обчислення не складає особливих труднощів: це ранг об'єднання базисів або породжують систем підпросторів і. знаходиться за формулою
Дещо складніше йде справа з пошуком базису перетину. У загальному вигляді це питання розглядається в задачі №1319 [4]. Тут же ми вкажемо, як знайти рішення конкретних завдань (№№ 1320-1322 [4]). Завдання 1.6 ми вирішимо двома способами, другий - за допомогою схеми Штіфеля (припускаємо, що №1319 ви вже розібрали).
Завдання 1.6. Знайти базис суми і перетину підпросторів, натягнутих на системи векторів
Рішення. Позначимо. . Будемо вважати, що координати векторів задані в одиничному базисі.
1 спосіб. Як відомо, базисом суми служить будь-яка база системи векторів. . Його побудова зводиться до обчислення рангу матриці, рядками якої є координати векторів останньої системи. Крім того, базис суми можна отримати, додаючи до базису першого підпростору деякі з векторів базису другого підпростору.
Отже,. Базис складають.
.
Базис складають. За формулою (3) отримуємо. Базис перетину будемо шукати з умови. Значить, представимо у вигляді і. Прирівнюємо праві частини. Це рівність еквівалентно системі трьох лінійних однорідних рівнянь з чотирма невідомими. Потрібно вирішити цю систему і побудувати ФСР. Тоді буде утворювати базис перетину.
Вирішивши систему, будуємо ФСР.
Вектор утворює базис.
2 спосіб. 1) Складемо таблицю Штіфеля для об'єднаної системи векторів. і перекидаємо наверх спочатку вектори. поки це можливо (квадратиками виділені дозволяють елементи). Вектори. перехідні наліво, не пишемо і їх координати не вирахував.
Вектор перекинути нагору замість неможливо. Приходимо до висновку, що. базис складають. . По (3).
3) Повертаємося до таблиці г). Вектор. який увійшов в базис. представимо через базис суми у вигляді:
Вектор і. а так як. то утворює базис перетину. Обидва подання вектора дають один результат. що підтверджує правильність обчислень. Завдання вирішена.
Для більш повного засвоєння поняття суми, прямий суми підпросторів корисно вирішити завдання №№1323-1329 [4].
Завдання 1.7. Для підпростору. натягнутого на вектори. знайти додаткове підпростір.
Рішення. Для будь-якого підпростору лінійного простору завжди знайдеться додаткове підпростір. тобто таке підпростір, що. Причому, воно визначається неоднозначно. Знайдемо одне з таких підпросторів. Для цього ми повинні знайти базис підпростору і доповнити його до базису всього простору. Нехай - базис. Тоді.
Знайдемо базис і розмірність.
.
Базис -. Так як - сума пряма, то. Щоб знайти базис доповнимо базис до базису всього простору векторами. .