Якщо сума всіх коефіцієнтів многочлена дорівнює нулю, то чісло1является коренем многочлена

Наприклад, в многочлене 3 сума коефіцієнтів дорівнює нулю:. Легко перевірити, що є коренем многочлена.

Якщо сума коефіцієнтів многочлена при парних степеняхравна сумі коефіцієнтів при непарних ступенях, то число-1является коренем многочлена. Вільний член вважається коефіцієнтом при парного степеня, оскільки. а 0- парне число.

Наприклад, в многочлене сума коефіцієнтів при парних ступенях. і сума коефіцієнтів при непарних ступенях. . Легко перевірити, що є коренем многочлена.

Якщо ні 1, ні -1 не є корінням багаточлена, то рухаємося далі.

Для наведеного многочлена ступеня (тобто многочлена, в якому старший коефіцієнт - коефіцієнт при- дорівнює одиниці) справедлива формула Вієта:

. де - корені многочлена.

Є ще формул Вієта, що стосуються інших коефіцієнтів многочлена, але нас цікавить саме ця.

З цієї формули Вієта випливає, що якщо коріння многочлена цілочисельні, то вони є дільниками його вільного члена, який також є цілим числом.

Виходячи з цього, нам треба розкласти вільний член многочлена на множники, і послідовно, від меншого до більшого, перевіряти, який з множників є коренем многочлена.

Розглянемо, наприклад, многочлен.

Подільники вільного члена:.

Сума всіх коефіцієнтів многочлена дорівнює отже, число 1 не є коренем многочлена.

Сума коефіцієнтів при парних ступенях. -3-14 = -17

Сума коефіцієнтів при непарних ступенях. 2 + 5 = 7

. отже, число -1 також не є коренем многочлена.

Перевіримо, чи є число 2 коренем многочлена:. отже, число 2 є коренем многочлена. Значить, по теоремі Безу, многочлен ділиться без залишку на двочлен.