Системи і сукупності рівнянь 1
Нехай дано два рівняння з двома невідомими і де - деякі вирази зі змінними х і у. Якщо ставиться завдання знайти всі спільні рішення даних рівнянь, то кажуть, що задана система рівнянь:
Вирішити систему (15) - значить знайти всі пари чисел. які є рішенням кожного рівняння, або довести, що таких пар чисел не існує.
Аналогічно визначається поняття системи з трьома і більше невідомими.
Системи, всі рівняння яких однорідні, називаються однорідними системами рівнянь.
Система називається сумісною. якщо вона має хоча б одне рішення і несумісною. якщо таких рішень не існує.
Дві системи рівнянь еквівалентні (рівносильні), якщо вони мають одні й ті ж рішення або обидві не мають рішень.
Над рівняннями системи можна виконувати наступні дії, що перетворюють цю систему в еквівалентну їй:
1) змінювати порядок проходження рівнянь;
2) множити на число. будь-яке рівняння;
3) множити на. одне рівняння системи і додавати його до іншого рівняння.
Кілька рівнянь утворюють сукупність рівнянь. якщо ставиться завдання знайти всі ті рішення, які задовольняють хоча б одного рівняння сукупності і входить в область визначення інших рівнянь.
Система двох лінійних рівнянь з двома невідомими має вигляд:
Геометрично, кожному рівняння системи (16) відповідає пряма лінія на площині:
1) якщо. то система (16) має єдине рішення (геометрично - прямі перетинаються в певній точці);
2) якщо. то система (16) не має рішень (прямі паралельні);
3) якщо. то система (16) має нескінченно багато рішень (прямі і - збігаються).
Основними методами рішення систем рівнянь (15) є:
1) метод підстановки;
2) метод виключення невідомої;
3) метод складання;
4) метод множення (ділення) рівнянь;
5) метод заміни змінних;
6) графічний метод.
Вирішимо методом складання. Для цього перше рівняння системи помножимо на і додамо до другого:
Задана система зводиться до вирішення сукупності систем:
Її рішенням є пари чисел; .
Замінимо в першому рівнянні системи. тоді
Отримаємо дрібно-раціональне рівняння:
Повертаємося до змінних х. у:
підходить по ОПЗ.
Дана система відноситься до симетричним системам (невідомі входять однаково). Рішення таких систем виробляють стандартної заміною змінних.
Далі використовуємо метод складання:
Отримуємо коріння цього квадратного рівняння:
З урахуванням системи (17) приходимо:
Повертаючись до змінним х. у. отримуємо
Вирішимо записані системи окремо:
Повертаючись до системи (18), отримуємо
тобто маємо два рішення і.
Оскільки для останнього квадратного рівняння. система (19) не має рішення.
Приклад 4. Вирішити графічно:
1. Виходячи з геометричного сенсу, - рівняння кола з центром і радіусом; - пряма, паралельна осі і проходить через точку
Побудуємо ці лінії (рис. 1).
Графіки мають 2 точки перетину, тобто система має 2 рішення, які знайдемо з системи (20):
2. Рівняння може бути записано у вигляді і є рівнянням гіперболи.
Рівняння може бути записано у вигляді -біссектріса II і IV координатних кутів (рис.2).
Графіки не мають точок перетину і, отже, система рішень не має.
Система містить однорідне рівняння.
Так як отримаємо:
З другого рівняння знайдемо х:
Отримуємо сукупність двох систем:
Приходимо до відповіді: і