Систему і сукупності рівнянь
Кілька рівнянь утворюють систему рівнянь, якщо всі вони повинні задовольнятися одночасно. Безліч рішень системи рівнянь виходить як перетин множин рішень кожного з рівнянь системи. Щоб показати, що рівняння утворюють систему, їх об'єднують фігурною дужкою. Наприклад в системі перше рівняння має два кореня 2 і 3, а друге один корінь 2. Значить система має один корінь 2..
Кілька рівнянь утворюють сукупність рівнянь, якщо має задовольнитися хоча б одне з цих рівнянь. Безліч рішень сукупності рівнянь виходить як об'єднання множин рішень всіх рівнянь, що входять в сукупність.
Сукупність рівнянь можна записувати в рядок з з'єднувальним союзом «або» чи записувати в стовпчик, об'єднуючи рівняння зліва фігурною дужкою. Наприклад, в сукупності або перше рівняння має коріння 2 і 3, друге 2 і -4. Значить, безліч рішень сукупності одно.
При вирішенні систем рівнянь з декількома змінними можна використовувати такі перетворення:
1) Вирішити одне рівняння системи відносної одного з невідомих і замінити це невідоме в інших рівняннях знайденим виразом;
2) До будь-якого з рівнянь системи можна додавати будь-яке інше, помножене на будь-яке дійсне число;
3) Чи можна почленно ділити ліву частину одного рівняння системи на ліву частину іншого і першу частину першого рівняння на праву частину другого.
Завдяки постежимо двох прийомів можна виключати деякі невідомі або привести систему до більш зручного виду.
4) Можна використовувати логічні перетворення систем, що дозволяють зводити до більш простим в математичному відношенні пропозицій за рахунок більш складних логічних зв'язків. Наприклад, систему рівнянь можна замінити сукупністю двох систем або. У ОДЗ початкової системи це перетворення рівносильно.
У процесі перетворень систем треба віддавати перевагу рівносильним перетворенням.
1). Відповідь: (1; -1).
Друге рівняння третьої системи отримано почленного складанням двох рівнянь другого системи.
2) або або. Відповідь: (5,25; 2) або (-5,25; -2).
Перше рівняння другої системи отримано почленного розподіл першого рівняння вихідної системи на друге. Від першої системи з сукупністю перейшли до сукупності систем.
3); ; ; ; або. Відповідь: (4; 5), (-2; -1).
Систему рівнянь з двома змінними можна вирішувати графічно. Для цього в системі координат зображують графіки кожного рівняння системи, знаходять точки, загальні всім графіками системи, і координати цих точок, перевіряють підстановкою в кожне рівняння системи. Наприклад,. Перше рівняння системи є рівнянням кола з центром в точці (3; 1) і радіусу 2, друге - рівняння прямої. Вони перетинаються в точці М (3; -1) і К (5; 1). Координати цих точок задовольняють системі.