Розмірність лінійного простору - студопедія
Определеніе.Упорядоченное безліч векторовобразует базис простору, якщо:
1) векторилінейно незалежні,
2) будь-який вектор простору лінійно виражається через вектори.
Рівність називається розкладанням вектора по базису. Коефіцієнти називаються координатами вектора в базисі.
Теорема.Пусть- базис простору. Тоді для будь-якого вектора з розкладання по базису єдино.
Доведення. Нехай і. тоді
Але вектори лінійно незалежні, тому для всіх. Теорема доведена.
Приклад. В арифметичному лінійному просторі R n система векторів
утворює базис, тому що ці вектори лінійно незалежні і будь-який вектор лінійно виражається через них:.
Цей базис не єдиний.
Завдання. Доведіть, що безліч векторів
теж утворює базис.
Определеніе.Лінейное простір називається -мірним, якщо в ньому існує базис із векторів. Лінійне простір називається безкінечномірні, якщо в ньому існує будь-яке число лінійно незалежних векторів.
Очевидно, що в вимірному просторі будь-яка система з векторів лінійно залежна.
Згадаймо деякі приклади лінійних просторів.
2). Простір послідовностей безконечномірний. Щоб це показати, розглянемо безліч елементів цього простору N:
Будь-яка кінцева система таких векторів лінійно незалежна.
5.5. Ранг системи векторів. Нехай - деякий, можливо, нескінченне, безліч векторів з лінійного простору. Набір векторів назвемо максимальною лінійно незалежною системою. якщо ці вектори лінійно незалежні і додавання будь-якого іншого вектора з безлічі робить систему лінійно залежною. Якщо Х є векторним простором, то максимальна лінійно незалежна система векторів в ньому є базисом.
Нехай - максимальна лінійно незалежна система в і нехай - вектор, відмінний від векторів. Тоді вектори лінійно залежні:. Зауважимо, що, інакше лінійно залежними були вектори. Звідси. Ми отримали, що якщо - максимальна лінійно незалежна система, то будь-який вектор з лінійно виражається через ці вектори. (Якщо вектор дорівнює одному з векторів системи, то він вочевидь виражається через вектори цієї системи.)
Лемма.Пустьі - дві системи векторів, причому векторилінейно незалежні. Якщо векторилінейно виражаються через, то.
Доведення. Припустимо гидке: нехай>. маємо:
Розглянемо рядки, складені з коефіцієнтів:
Ці рядки можна вважати елементами простору R r. Так як>, то ці рядки лінійно залежні, тобто знайдуться. не всі рівні нулю, такі, що
Інакше, для. Але тоді
що означає лінійну залежність векторів. Значить,.
Следствіе.Еслі і - дві максимальні лінійно незалежні системи в, то.
Дійсно, так як вектори лінійно виражаються через. то. Але теж лінійно виражаються через, значить,. Звідси.
Определеніе.Рангом системи векторів називається число векторів в максимальній лінійно незалежної системи.
Згідно зі щойно доведеною леми, ранг системи не залежить від вибору максимальної лінійно незалежної системи.