Розмірність лінійного простору
Розглянемо довільне дійсне простір R.
Визначення 3.1. Лінійне простір R називається n-мірним, якщо в ньому існує n лінійно незалежних елементів, а будь-які (n +1) елементів вже є лінійно залежними. При цьому число n називається розмірністю простору R.
Розмірність простору позначають символом dim.
Визначення 3.2. Лінійне простір R називається безкінечномірні, якщо в ньому існує будь-яке число лінійно незалежних елементів.
Теорема 3.3. Нехай R є лінійним просторів розмірності n (dim R = n). Тоді будь-які n лінійно незалежних елементів цього простору утворюють його базис.
Доведення. Так як R є n -мірним простором, то з визначення 2.1 слід, що в ньому існує сукупність з n лінійно незалежних елементів. Нехай x - будь-який елемент з R. Тоді згідно з визначенням 3.1 лінійно залежні, тобто існують числа (не всі рівні нулю) такі, що справедливо рівність
Зауважимо, що # 955; 0 ≠ 0 тому в іншому випадку з рівності (3.1) слідувала, що елементи лінійно залежні. Поділивши рівність (3.1) на # 955; 0 і поклавши