Розмірність лінійного простору - це
визначення
Лінійне. або векторноепространство над полем P - це непорожня безліч L. на якому введено операції
- складання, тобто кожній парі елементів безлічі ставиться у відповідність елемент того ж безлічі, що позначається і
- множення на скаляр (тобто елемент поля P), тобто будь-якого елементу і будь-якого елементу ставиться у відповідності елемент з, що позначається.
При цьому задовольняються наступні умови:
- , для будь-яких (коммутативность складання);
- , для будь-яких (асоціативність додавання);
- існує такий елемент, що для будь-якого (існування нейтрального елемента щодо складання), зокрема L не порожньо;
- для будь-якого існує такий елемент, що (існування протилежного елементу).
- (Асоціативність множення на скаляр);
- (Існування нейтрального елемента відносно множення).
- (Дистрибутивность множення на скаляр щодо складання);
- (Дистрибутивность складання відносно множення на скаляр).
найпростіші властивості
- Нейтральний елемент є єдиним.
- для будь-кого.
- Для будь-якого протилежний елемент є єдиним.
- для будь-кого.
- для будь-яких і.
Пов'язані визначення і властивості
- Лінійне підпростір або векторне підпростір - непорожня підмножина P лінійного простору L таке, що P саме є лінійним простором по відношенню до певних в L дій додавання і множення на скаляр.
- Кінцева сума виду
- Лінійна комбінація називається нетривіальною. якщо хоча б один з її коефіцієнтів відмінний від нуля.
- Елементи називаються лінійно залежними. якщо існує нетривіальна лінійна комбінація (1), що дорівнює елементу. В іншому випадку ці елементи називаються лінійно незалежними.
- Нескінченна підмножина векторів з L називається лінійно залежною, якщо лінійно залежно його деякий кінцеве підмножина, і лінійно незалежним, якщо будь-який його кінцеве підмножина лінійно незалежно.
- Число елементів (потужність) максимального лінійно незалежної підмножини простору не залежить від вибору цього підмножини і називається рангом. або розмірністю. простору, а саме це підмножина - базисом.
- Будь-які n лінійно незалежних елементів n мірного простору утворюють базис цього простору.
- Будь-вектор можна представити (єдиним чином) у вигляді кінцевої лінійної комбінації базисних елементів:
- Нульове простір, єдиним елементом якого є нуль.
- Простір всіх функцій утворює векторний простір розмірності рівній потужності X.
- поле дійсних чисел може бути розглянуто як континуально -мірним векторний простір над полем раціональних чисел.
додаткові структури
Дивитися що таке "Розмірність лінійного простору" в інших словниках:
Простору Гільберта - гільбертовому просторі особливий тип банахових просторах, узагальнення евклідового простору на безконечномірний випадок. При цьому гільбертовому просторі не обов'язково є безкінечномірні. Гільбертовому просторі є Банахів ... ... Вікіпедія
Власні вектори, значення і простору - Синім кольором позначено власний вектор. Він, на відміну від червоного, при деформації (перетворення) не змінив напрямок і довжину, тому є власним вектором, відповідним ... Вікіпедія
Ядро лінійного відображення - У різних розділах математики ядром відображення називається деякий безліч kerf, в деякому сенсі характеризує відмінність f від ін'єкційних відображення. Конкретне визначення може відрізнятися, однак для ін'єкційних відображення f ... ... Вікіпедія
Базис - Цей термін має також інші значення див. Базис (значення). Базис (ін. Грец. Βασις, основа) безліч таких векторів у векторному просторі, що будь-який вектор цього простору може бути єдиним чином представлений у вигляді ... ... Вікіпедія
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ РІВНЯННЯ із приватними похідними - рівняння виду де F задана дійсна функція точки х = (xt. Х п) області Dевклідова простору Е п, і дійсних змінних (і (х) невідома функція) з невід'ємними цілочисельними індексами i1. in, k = 0. т, по ... ... Математична енциклопедія
Матриця (математика) - Цей термін має також інші значення див. Матриця. Матриця математичний об'єкт, що записується у вигляді прямокутної таблиці елементів кільця або поля (наприклад, цілих, дійсних або комплексних чисел), яка представляє ... ... Вікіпедія
Власні вектори - власні вектори, значення і простору Червоним кольором позначено власний вектор. Він, на відміну від синього, при деформації не змінив напрямок і довжину, тому є власним вектором, відповідним власному значенню λ = 1. ... ... Вікіпедія
Кореневе підпростір - Червоним кольором позначено власний вектор. Він, на відміну від синього, при деформації не змінив напрямок і довжину, тому є власним вектором, відповідним власному значенню λ = 1. Будь-який вектор, паралельний червоному вектору, ... ... Вікіпедія
Кореневої вектор - Червоним кольором позначено власний вектор. Він, на відміну від синього, при деформації не змінив напрямок і довжину, тому є власним вектором, відповідним власному значенню λ = 1. Будь-який вектор, паралельний червоному вектору, ... ... Вікіпедія