Розмірність і базис векторного простору
5.2. РОЗМІРНІСТЬ І БАЗИС векторні простори
Векторний простір називається n -мірним. якщо в ньому можна знайти n лінійно незалежних векторів, але більше, ніж n лінійно незалежних векторів воно не містить.
Розмірність простору - це максимальне число містяться в ньому лінійно незалежних векторів.
Розмірність простору домовимося позначати через dim.
Наприклад, розмірність множини всіх плоских векторів дорівнює 2, розмірність безлічі просторових векторів дорівнює 3.
Простір, що має кінцеву розмірність, називається конечномірні. Простір, в якому можна знайти скільки завгодно багато лінійно незалежних векторів, називається безкінечномірні.
Сукупність n лінійно незалежних векторів n - мірного векторного простору називається його базисом.
Теорема5.1.Каждий вектор лінійного n - мірного простору можна представити, і до того ж єдиним способом, у вигляді лінійної комбінації векторів базису.
Доведення. Нехай - довільний базис простору і. Так як будь-які n + 1 векторів простору лінійно залежні, то залежні, зокрема, і вектори. тобто існують нерівні одночасно нулю числа. такі, що
При цьому . в іншому випадку хоча б одне з чисел було б відмінно від нуля, і вектора були б лінійно залежні. отже,
Вважаючи. матимемо.
Це уявлення через єдино. Доводиться від противного. Числа називаються координатами вектора в базисі.
Теорема5.2.Еслі - лінійно незалежні вектори простору і будь-який вектор лінійно виражається через. то ці вектори утворюють базис в.
Доведення. Вектори. за умовою, лінійно незалежні. Покажемо, що в просторі немає більш ніж n лінійно незалежних векторів. Виберемо довільні векторів з. . За умовою, кожен з них можна лінійно висловити через.
Так як число рядків цієї матриці дорівнює n. то її ранг не більш, ніж n. і значить, серед її стовпців є не більше, ніж n лінійно незалежних. Але так як m> n. то m стовпців цієї матриці лінійно залежні. Отже, лінійно залежні і вектори. Отже, простір n - розмірено і - його базис.