Розмірність векторного простору
Розмірність векторного простору.
Одним з найважливіших інваріантів векторного простору є його розмірність.
ВИЗНАЧЕННЯ. Розмірністю ненульового конечномерного векторного простору називається число векторів будь-якого базису простору. Розмірність нульового векторного простору вважається рівною нулю. Розмірність векторного простору позначається через
Приклад. Нехай - арифметичне векторний простір над полем Вектори утворюють базис простору. Отже, Розглянемо деякі властивості розмірності.
ВЛАСТИВІСТЬ 3.1. Якщо - конечномерное векторний простір і то при будь-яка система k векторів простору лінійно залежна.
Доведення. Якщо то - нульове простір і властивість 3.1 виконується.
Якщо ж, то базис простору складається з векторів. За слідству 3.3, це означає, що при будь-яка система k векторів простору лінійно залежна.
СЛІДСТВО 3.9. Якщо і система векторів простору лінійно незалежна, то
ВЛАСТИВІСТЬ 3.2. Якщо - підпростір конечномерного векторного простору, то
Доведення. Нерівність (1), очевидно, вірно, якщо є нульове підпростір. Якщо ж підпростір нульове, то (по теоремі 3.5) воно конечномерного і (по теоремі 3.1) володіє базисом. Нехай - базис простору. Тоді В просторі система векторів лінійно незалежна. Тому, слідству
ВЛАСТИВІСТЬ 3.3. Якщо - підпростір конечномерного векторного простору і то
Доведення. Якщо підпростір нульове, то Тоді в силу умови Тому - також нульове векторний простір. отже,
Припустимо, що - нульове підпростір. Тоді воно, так само як і, конечномерного і, по теоремі 3.1, має базисом. Нехай - його базис. Тоді і, за умовою, Тому система є також базисом простору. отже,
ВЛАСТИВІСТЬ 3.4. Якщо конечномерное векторний простір є пряма сума підпросторів, то
Доведення. За умовою, і, отже,
Якщо або - нульові підпростору, то рівність (1), очевидно, вірно.
Припустимо, що - ненульові підпростору. нехай
- базиси просторів U і X відповідно.
Доведемо, що система
є базисом простору Зважаючи (2)
Система (6) лінійно незалежна. Дійсно, для будь-яких скалярів з рівності
в силу (7) слідують рівності
а так як системи (4) і (5) лінійно незалежні, з (8) випливає, що Далі, в силу (3)
т. e. система (6) породжує простір Отже, доведено, що система (6) є базис простору Отже,
Теорема 3.10. Якщо векторне простір є сума скінченновимірних підпросторів, то
Доведення. Припустимо, що
Якщо то сума (2) пряма; отже, по властивості 3.4, теорема вірна.
Припустимо, що Тоді простір, так само як і U, конечномерного. нехай
- базис простору. Доповнимо його до базисів просторів. нехай
- базис простору U і