Розмірність і базис векторного простору - студопедія
В іншому випадку вектори називаються лінійно незалежними.
З наведених вище визначень випливає, що вектори лінійно незалежні, якщо рівність справедливо лише при. і лінійно залежні, якщо це рівність виконується, коли хоча б одне з чисел відмінно від нуля.
Можна показати, що якщо вектори лінійно залежні, то, по крайней мере, один з них лінійно виражається через інші. Вірно і зворотне твердження про те, що якщо один з векторів виражається лінійно через інші, то всі ці вектори в сукупності лінійно залежні. В іншому випадку вектори називаються лінійно незалежними.
З наведених вище визначень випливає, що вектори лінійно незалежні, якщо рівність (8.2) справедливо лише при. і лінійно залежні, якщо це рівність виконується, коли хоча б одне з чисел відмінно від нуля.
Прикладом лінійно незалежних векторів є два неколінеарних, тобто не паралельно одній прямій, вектора і на площині. Дійсно, умова (8.2) буде виконуватися лише в разі, коли. бо якщо, наприклад,. то і вектори і колінеарні. Однак будь-які три вектори площині лінійно залежні.
Відзначимо деякі властивості векторів лінійного простору.
I. Якщо серед векторів є нульовий вектор, то ці вектори лінійно залежні.
II. Якщо частина векторів є лінійно залежними, то і всі ці вектори - лінійно залежні.
Определеніе.Лінейное простір називається -мірним, якщо в ньому існує лінійно незалежних векторів, а будь-які з векторів вже є залежними. Іншими словами, розмірність простору - це максимальне число містяться в ньому лінійно незалежних векторів. Число називається розмірністю простору і позначається.
Визначення. Сукупність лінійно незалежних векторів -мірного простору називається базисом.
Справедлива наступна теорема.
Теорема.Каждий вектор лінійного простору можна представити і притому єдиним способом у вигляді лінійної комбінації векторів базису:
Це рівність називається розкладанням вектора по базису. а числа - координатами вектора щодо цього базису. В силу єдиності розкладання кожен вектор однозначно може бути визначений координатами в деякому базисі.
Очевидно, що нульовий вектор має всі нульові координати, а вектор, протилежний даному, - протилежні за знаком координати.
Теорема.Еслі - система лінійно незалежних векторів простору і будь-який вектор лінійно виражається через. то простір є -мірним простором. а вектори - його базисом.
Базисом векторного простору називається будь-яка незалежна система лінійно незалежних вектор цього простору, кількість яких одно. тобто вибір системи базисних векторів векторного простору неоднозначний, і може бути здійснений великим числом способів.
Нерідко доводиться зустрічатися з заміною змінних, при якій старі змінні лінійно виражаються через нові, наприклад, при переході від одного базису простору до іншого. Таку заміну змінних називають зазвичай їх лінійним перетворенням.
Лінійним перетворенням змінних називається вираз системи змінних через нову систему змінних за допомогою лінійних однорідних функцій:
Лінійне перетворення цілком визначається таблицею розміром. складеної з коефіцієнтів при. Така таблиця, складена з елементів називається матрицею. а саме перетворення являє собою приклад матричної операції. Поняття матриці вимагає більш детального розгляду, що і буде зроблено в наступному розділі.
Контрольні питання до лекції №8
1. Поняття евклідового простору.
2. Лінійна залежність і лінійна незалежність векторів.
3. Поняття розмірності і базису лінійного простору.
4. Лінійне перетворення векторів.