Приклади рефлексивних відносин
Існують два основних способи завдання множин: перерахування і опис його елементів. Перерахування полягає в отриманні повного списку елементів безлічі, а опис полягає в завданні такого властивості, яким елементи даної множини мають, а все решта немає.
4. Перетин двох множин називають безліч, що складається з усіх загальних елементів цих множин.
приклад:
Візьмемо числа 12 і 18. Знайдемо їх подільники, позначивши всі безліч цих подільників відповідно буквами А і B:
А =,
B =.
Ми бачимо, що у чисел 12 і 18 є загальні дільники: 1, 2, 3, 6. Позначимо їх літерою C:
C =.
Безліч C і є перетином множин А і B. Пишуть це так:
А ∩B = C.
Якщо два безлічі не мають спільних елементів, то перетином цих множин є пустоемножество.
Порожня множина позначають знаком Ø, а використовують такий запис:
Об'єднання двох множин - це множина, яка складається з усіх елементів цих множин.
Для прикладу повернемося до чисел 12 і 18 і безлічі їх елементів A і B. випишемо спочатку елементи множини А, потім додамо до них ті елементи множини B, які не мають в безлічі А. Ми отримаємо безліч елементів, яким володіють А і B в сукупності. Позначимо його буквою D:
Безліч D і є об'єднанням множин A і B. Пишеться це так:
5.Декартовим твором множин A і B називається таке результуюче безліч пар виду (x, y), побудованих таким чином, що перший елемент з безлічі A, а другий елемент пари - з безлічі B. Загальноприйнята позначення:
Твори трьох і більше множин можна побудувати наступним чином:
1.Положім A =, B =. Тоді результат декартова твори можна записати так: A × B =, а B × A =
2.Якщо в попередньому прикладі покласти B = A, очевидно, що A × B = B × A =
6. Різницею множин A і B називається множина елементів, що належать A і не належать B. Позначають A \ B і Новомосковскют "різницю A і B".
Приклад 1. Нехай A є відрізок [1, 3], B - відрізок [2, 4]; тоді об'єднанням буде відрізок [1, 4], перетином - відрізок [2, 3], різницею A \ B - напівінтервал [1, 2), B \ A - напівінтервал (3, 4].
Приклад 2. Нехай A є безліч прямокутників, B - безліч всіх ромбів на площині. Тоді є безліч всіх квадратів, A \ B - безліч прямокутників з нерівними сторонами, B \ A - безліч всіх ромбів з нерівними кутами.
7. Перетин множин є бінарної операцією на довільному булеані;
§ Операція перетину множин коммутативна:
§ Операція перетину множин транзитивна:
§ Універсальне безліч є нейтральним елементом операції перетину множин:
§ Таким чином булеан разом з операцією перетину множин є абельовой групою;
§ Операція перетину множин ідемпотентна:
§ Якщо - порожня множина. то
8 .Об'едіненіе множин є бінарної операцією на довільному булеані
§ Операція об'єднання множин коммутативна:
§ Операція об'єднання множин транзитивна:
§ Порожня множина є нейтральним елементом операції об'єднання множин:
§ Таким чином булеан разом з операцією об'єднання множин є моноїд;
§ Операція перетину множин ідемпотентна:
1.Бінарное відношення (двучленное відношення). Бінарне відношення в математиці - двомісне відношення між будь-якими двома множинами і. тобто будь-яке підмножина декартова твори цих множин: [1]. Бінарне відношення на множині - будь-яка підмножина. такі бінарні відносини найбільш часто використовуються в математиці, зокрема, такі рівність, нерівність, еквівалентність, відношення порядку.
2. тернарного ставлення - то ж, що Тримісне відношення (тричлен відношення).
3.Кватернарное ставлення - то ж, що чотиримісне відношення (четирёхчленное відношення)
10. Рефлексивне ставлення в математиці - бінарне відношення на множині. при якому кожен елемент цієї множини перебуває у відношенні з самим собою.
Формально, ставлення рефлексивно, якщо.
Властивість рефлексивності при заданих відносинах матрицею характеризується тим, що всі діагональні елементи матриці дорівнюють 1; при заданих відносинах графом кожен елемент х має петлю - дугу (х, # 8201; х).
Бінарне відношення на множині є рефлексивним тоді і тільки тоді, коли його підмножиною є тотожне відношення на безлічі (), тобто.
Якщо ця умова не виконана ні для якого елемента множини. то відношення називається антирефлексивне (або іррефлексівним).
Якщо антирефлексивне відношення задано матрицею, то все діагональні елементи є нульовими. При завданні такого ставлення графом кожна вершина не має петлі - немає дуг виду (х, # 8201; х).
Формально антирефлексивне відносини визначається як:.
Якщо умова рефлексивності виконано не для всіх елементів множини. кажуть, що ставлення нерефлексівному.
Приклади рефлексивних відносин
· Відношення порівнянності по модулю
· Відношення паралельності прямих і площин
· Відношення подібності геометричних фігур;
· Відносини несуворого порядку:
· Ставлення несуворого нерівності
· Ставлення несуворого підмножини