Початкова та граничні умови - студопедія
Для виділення єдиного рішення рівняння теплопровідності необхідно до рівняння приєднати початкові і граничні умови.
Початкова умова, на відміну від рівняння гіперболічного типу полягає лише в завданні значень функції в початковий момент часу.
Граничні умови можуть бути різні в залежності від температурного режиму на кордонах. Розглядають три основних типи граничних умов.
1. На кінцях стрижня задана температура:
де. - функції, задані в деякому проміжку часу. протягом якого вивчається процес.
2. На кінцях стрижня задані значення похідної:
До цій умові ми приходимо, якщо задана величина теплового потоку. протікає через торцеве перетин стрижня. Наприклад, якщо для задана величина. то:
звідки. де - відома функція, що виражається через заданий потік формулою. Якщо чи тотожно дорівнюють нулю, то кажуть, що відповідний кінець стержня теплоізольовані.
3. На кінцях стрижня задані лінійні відносини між функцією і її похідної:
де - відома функція - температура навколишнього середовища; - коефіцієнт теплообміну. Це гранична умова відповідає теплообміну за законом Ньютона на поверхні тіла з навколишнім середовищем, температура якої відома.
Користуючись двома виразами для теплового потоку, що випливає через перетин:
отримуємо математичну формулювання третього граничного умови у вигляді:
Для кінця стержня третього гранична умова має вигляд:
Граничні умови при і можуть бути різних типів, так що число різних завдань велике.
Перша крайова задача для обмеженого стрижня полягає в наступному.
Знайти рішення рівняння теплопровідності:
де. . - задані функції.
Фізично умова (початкова умова) відповідає тому, що при в різних перетинах стрижня задана температура, рівна. Умови. (Граничні умови) відповідають тому, що на кінцях стержня при і підтримується температура, рівна і відповідно.
Тобто як і для рівнянь гіперболічного типу, функція шукається тільки для і (але не при. і.. де значення функції заздалегідь задаються початковими і граничними умовами).