Початкова та граничні умови
Щоб визначити температуру всередині тіла в будь-який момент часу, недостатньо одного рівняння (6). Необхідно, як випливає з фізичних міркувань, знати ще розподіл температури всередині тіла в початковий момент часу (початкова умова) і тепловий режим на кордоні тіла (гранична умова).
Початкова умова на відміну від рівняння гіперболічного типу задається тільки одне, тому що вихідне рівняння містить лише першу похідну за часом.
Граничні або крайові умови можуть бути різні в залежності від температурного режиму на кордоні тіла. Основними видами теплових режимів є наступні: I - на кордоні підтримується певна температура; II - на кордон подається певний тепловий потік; III - відбувається теплообмін із зовнішнім середовищем, температура якої відома. Їм відповідають граничні умови першого, другого, третього роду.
Сформулюємо перш умови для одновимірного рівняння теплопровідності.
Початкова умова полягає в завданні функції u = u (x, t) в початковий момент часу (t = 0):
Виведемо граничні умови у випадках I - III.
1. На кінцях стрижня (або на одному кінці) задається температура
де - функції, задані в деякому проміжку причому T є проміжок часу, протягом якого вивчається процес. Зокрема, тобто на кінцях підтримується постійна температура і.
2. На одному з кінців (або на обох) задано значення похідної шуканої функції. Наприклад, для перетину x = 0
Дамо фізичне тлумачення цій умові. Нехай t) - величина теплового потоку, тобто кількість тепла, що протікає через торцеве перетин x = 0 в одиницю часу. Тоді рівняння теплового балансу для елемента стержня (0; # 916; x) в період часу t, як і при виводі рівняння (4) запишеться у вигляді
скоротивши на # 916; t і перейшовши до межі при # 916; x 0. отримаємо
Таким чином, маємо умову (12), в якому відома функція виражається через заданий потік тепла за формулою
Аналогічно для перетину x = 1 через яке протікає кількість тепла. знайдемо
Отже, умова або має місце вразі, коли на відповідному кінці стрижня заданий тепловий потік, впадає або випливає. Зокрема, якщо кінцеве сеченіетеплоізоліровано, то (t) = 0 або (t) = 0. і отже,
3. На одному з кінців (або на обох) задається лінійне співвідношення між функцією і її похідної. Наприклад, для перетину x = l
Умова типу (13) використовується в разі процесу тепловіддачі, тобто перенесення тепла від тіла до навколишнього середовища. Закон теплообміну складний; але для спрощення завдання він може бути прийнятий у вигляді закону Ньютона. Відповідно до емпіричного закону Ньютона кількість тепла, що віддається в одиницю часу з одиниці площі поверхні тіла в навколишнє середовище, температура якої відома, пропорційно різниці температур поверхні тіла і навколишнього середовища:
де # 945; - коефіцієнт теплообміну (або зовнішньої теплопровідності).
Можна визначити тепловий потік через переріз стержня, скориставшись двома виразами в cілу закону збереження енергії.
Відповідно до закону Ньютона тепловий потік q (t), що випливає через перетин
З іншого боку, такий же тепловий потік повинно проводитися через зсередини шляхом теплопровідності. Тому відповідно до закону Фур'є
Прирівнюючи праві частини цих виразів, знайдемо
Звідси отримуємо математичну формулювання умови в вигляді
. .
Зауважимо, що граничні умови, накладені на значення функції u (x t), називають умовами першого роду. Граничні умови, накладені на значення похідної називають умовами другого роду. А умови, накладені як на значення функції u (x, t), так і на значення похідної. називають умовами третього роду.
У разі граничних умов виду (11), (12), (13) говорять відповідно про першої, другої, третьої крайових задачах для рівняння теплопровідності. Початкова умова для всіх зазначених крайових задач залишається тим же самим і дається рівністю (10).
Так, перша крайова задача полягає в знаходженні рішення u = u (x, t) рівняння
при 0 u (0, t) = 0 Аналогічно ставляться інші крайові задачі з різними комбінаціями граничних умов при x = 0 і x = l.Схожі статті