Основні закони розподілу неперервних випадкових величин
1.Равномерное розподіл. Розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини Х, що приймають всі свої значення з відрізка [a; b], називаються рівномірним, якщо її щільність ймовірності на цьому відрізку постійна, а поза ним дорівнює нулю, тобто
Але як відомо (см.параграф 2.5, п.2),
З порівняння рівності (2.20) і (2.21) отримуємо c =
Отже щільність ймовірності неперервної випадкової величини Х, розподіленої рівномірно на відрізку [a; b], має вигляд
Приклад. На відрізку [a; b], навмання вказують точку .Каково ймовірність того, що ця точка виявиться в лівій половині відрізка?
Позначимо через Х випадкову величину, рівну координаті обраної точки. Х розподілена рівномірно (в цьому і полягає точний зміст слів: «навмання вказують точку»), а так як середина відрізка [a; b], має координату. то шукана ймовірність дорівнює (см.параграф 2.5, п.2):
Втім, цей результат був ясний з самого початку (см.параграф 1.2, п.1).
2.Нормальная закон розподілу. Закон розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини Х називається нормальним законом. або законом Гаусса [1] якщо її щільність ймовірності є
де і a постійна, причому.
Переконаємося що функція (2.22) задовольняє умові (2.17). Дійсно перейшовши в інтегралі (2.23)
До нової змінної t = (2.24)
Але (см.приложение 1).
Значить інтеграл (2.23) теж дорівнює одиниці.
Остання сума поширена на всі значення x1 прийняті випадковою величиною X. Отже (див. § 2.2, п. 1),
Користуючись властивостями дисперсії (§ 2.3, п. 2) і умовою теореми, одержимо
Звідси з урахуванням нерівності (2.35) і того, що ймовірність будь-якої події не перевищує одиниці (§ 1, п. 3), отримаємо
Нарешті, переходячи в нерівності (2.36) до межі при n → ∞, при-ходимо до шуканого співвідношенню (2.34).
Окремий випадок теореми Чебишева. Якщо все Хк мають однакове математичне сподівання М (Х1) =. = М (Хn) = а і D (Хk)<с, k= 1. n, то
Дійсно, в умовах розглянутого окремого випадку рівність (2.34) має вигляд (2.37).
Сутність теореми Чебишева полягає в наступному. Незважаючи на те, що кожна з незалежних випадкових величин Хk може прийняти значення, далеке від математичного очікування М (Хk), середнє арифметичне достатньо великої кількості випадкових величин з великою ймовірністю досить близько до середнього ари-метичних їх математичних очікувань.
Теорема Чебишева має величезне практичне значення. Нехай, наприклад, вимірюється деяка фізична величина. Звичайні-но приймають як шуканого значення вимірюваної величини середнє арифметичне результатів декількох вимірювань. Мож-но вважати такий підхід правильним? Теорема Чебишева (її част-ний випадок) відповідає на це питання позитивно.
На теоремі Чебишева заснований широко застосовуваний в статис-тику вибірковий метод, згідно з яким за порівняно не-великий випадковою вибіркою виносять судження, що стосується всієї сукупності досліджуваних об'єктів. З теореми Чебишева (окремий випадок) слід теорема Бернуллі, що є найпростішою формою закону великих чисел.
Теорема Бернуллі. Нехай m-число наступів події А в n незалежних випробуваннях і p є ймовірність наступлю-ня події А в кожному з випробувань. Тоді, яке б не було позитивне число,
Доведення. Позначимо через Xk випадкову величину, рівну числу наступів події А в k-м випробуванні, де k = 1, 2. п. Тоді маємо (§ 2.4, п. 1)
і всі умови окремого випадку теореми Чебишева виконані. Рівність (2.37) перетворюється в рівність (2.38).
Практичний сенс теореми Бернуллі наступний: при посто-янства ймовірності випадкової події А в усіх випробуваннях при необмеженому зростанні числа випробувань можна з ймовірно-стю, як завгодно близькою до одиниці (т. Е. Як завгодно близько до достовірності), стверджувати, що спостерігається відносна годину-тота випадкової події буде як завгодно мало відхилятися від його ймовірності.
§ 2.9. Граничні теореми теорії ймовірностей
1. Центральна гранична теорема. Як уже зазначалося, нор-мально розподілені випадкові величини мають широке рас-рення на практиці. Пояснення цьому дає центральна гранична теорема, один з варіантів формулювання якої належить українському математику А. М. Ляпунову (1857-1918). Суть центральної граничної теореми полягає в наступному: якщо слу-чайна величина X являє собою суму дуже великого числа незалежних випадкових величин, вплив кожної з яких на всю суму мізерно мало, то X має розподіл, близьке до нормаль-ному.
Наведемо без доведення (доказ см. В роботі [3]) центральну граничну теорему для випадку однаково распреде-них випадкових величин.
Теорема. Якщо Х1. Х2. Хn -Незалежні випадкові величи-ни, що мають один і той же розподіл з математичним сподівання-ням # 945; і дисперсією # 963; 2. то при необмеженому збільшенні n закон розподілу суми Х = Х1 + Х2 +. + Хn необмежено наближається до нормального.
2. Локальна та інтегральна граничні теореми Лапласа.
Якщо число випробувань п велике, то обчислення за формулою Бернуллі стають скрутними. Лаплас * отримав важливу наближену формулу для розрахунку ймовірності Рn (m) появи події А точно m раз, якщо n - досить велике число. Їм же отримана наближена формула і для суми виду
Локальна гранична теорема Лапласа. Нехай р = Р (А) - ймовірність події А, причому 0 для функції # 966; (х) складена таблиця (див. Додаток 2) її значень для позитивних значень х [функція # 966; (Х) парна]. Вираз (2.39) називають формулою Лапласа. Приклад 1. Імовірність поразки цілі стрільцем при оди-нічному пострілі p = 0,2. Яка ймовірність того, що при 100 ви-стрілах мета буде вражена рівно 20 разів? Тут p = 0,2, q = 0,8, n = 100 і m = 20. Звідси, Приклад 2. Імовірність того, що виріб не минуло провер-ку ОТК, р = 0,2. Знайдемо ймовірність того, що серед 400 випадково відібраних виробів виявляться неперевіреними від 70 до 100. Тут n = 400, k = 70, l = 100, p = 0,2, q = 0,8. Тому в силу ра-венства (2.44) хk = -1,25, xl = 2,5 і, згідно з формулою (2.46), Зауваження: Зазначимо, що локальну і інтегральну пре-слушні теореми Лапласа іноді ще називають локальною і інтег-ральної граничними теоремами Муавра * - Лапласа. 3. Розподіл випадкових помилок вимірювання. Нехай проводить-ся вимір деякої величини. Різниця х-a між результа-том вимірювання х і істинним значенням а вимірюваної величини називається помилкою вимірювання. Внаслідок впливу на вимірюв-ня великої кількості факторів, які неможливо врахувати (випадкові зміни температури, коливання приладу, помилки, що виникають при округленні і т. П.), Помилку вимірювання можна вважати сумою великого числа незалежних випадкових величин, яка по центральній граничній теоремі повинна бути розбраті-делена нормально. Якщо при цьому немає систематично діючих факторів (наприклад, несправності приладів, які завищують при кожному вимірі свідчення), що призводять до систематичних ошиб-кам, то математичне сподівання випадкових помилок дорівнює нулю. Отже, приймається положення: при відсутності систематично діючих факторів помилка вимірювання є випадкова величина (позначимо її через T), розподілена нормально, причому її мате-тичних сподівання дорівнює нулю, т. Е. Щільність ймовірності ве-личини Т дорівнює де # 963; - середньоквадратичне відхилення величини Т, характери-зує розкид результатів вимірювання навколо вимірюваної величини. Результат вимірювання також є випадкова величина (позначимо її через X), пов'язана з T залежністю Х = # 945; + Т. Звідси: М (Х) = # 945 ;, # 963; (Х) = # 963; (Т) = # 963; і X має нормальний закон розподілу. Зауважимо, що випадкова помилка вимірювання, як і результати вимірювання, завжди виражається в деяких цілих одиницях, свя-чених з кроком шкали вимірювального приладу; в теорії зручніше вважати випадкову помилку безперервною випадковою величиною, що спрощує розрахунки. При вимірі можливі дві ситуації: а) відомо # 963; (Це характеристика приладу і комплексу усло-вий, при яких проводяться вимірювання), потрібно за результатами б) # 963; невідомо, потрібно за результатами вимірювань оцінити Розгляду цих ситуацій при проведенні фізичних изме-реній буде присвячений § 4.3 1. Нехай випадкова величина X- число очок, що випали при підкинь-сиваніі гральної кістки. Знайдіть закон розподілу випадкової вели-чини X. 39. Беручи ймовірності народження хлопчика і дівчинки однаковими, знайдіть ймовірність того, що серед чотирьох новонароджених 2 хлопчика. 40. Ймовірність влучення в ціль при стрільбі з гармати p = 0,6. Знайдіть математичне сподівання загального числа влучень, якщо проводять 10 пострілів. 41. Знайдіть математичне сподівання кількості лотерейних квитків, на яке випадуть виграші, якщо придбано 20 квитків, причому ймовірність виграшу по одному квитку дорівнює 0,3. 42. Знайдіть дисперсію випадкової величини X - числа появ події А в 100 незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність настання події А дорівнює 0,7. 43. Знайдіть: а) математичне сподівання і б) дисперсію числа бракованих виробів в партії з 5000 виробів, якщо кожен виріб може виявитися бракованим з ймовірністю 0,02. [А) 100 виробів; б) 98] 44. Проводиться 10 незалежних випробувань, в кожному з яких ймовірність появи події А дорівнює 0,6. Знайдіть дисперсію випадкової величини X - числа появ події А в цих випробуваннях. 45. Знайдіть дисперсію випадкової величини X - числа появ події А в двох незалежних випробуваннях, якщо M (X) = 0,8. 46. Зростання дорослої жінки є випадковою величиною, розподіленою за нормальним законом з параметрами: а = 164 см, s = 5,5. Знайдіть щільність ймовірності цієї величини. 47. Випадкова величина X розподілена за нормальним законом. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення цієї величини відповідно рівні 0 і 2. Знайдіть ймовірність того, що X прийме значення, що належить інтервалу (-2; 3) 48. Випадкова величина X розподілена за нормальним законом. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення цієї величини відповідно рівні 6 і 2. Знайдіть ймовірність того, що X прийме значення, що належить інтервалу (4; 8). 49. Нехай маса спійманої риби підпорядковується нормальному закону з параметрами: а = 375 г; s = 25 м Знайдіть ймовірність того, що маса спійманої риби буде від 300 до 425 м 50. Діаметр деталі, що виготовляється в цеху, є випадковою величиною, розподіленою за нормальним законом. Дисперсія її дорівнює 0,0001, а математичне очікування - 2,5 мм. Знайдіть кордону, в яких з ймовірністю 0,9973 укладено діаметр навмання взятої деталі. 51. Випадкова величина X розподілена за нормальним законом. Середнє квадратичне відхилення цієї величини одно 0,4. Знайдіть ймовірність того, що відхилення випадкової величини X від її математичного очікування по абсолютній величині буде менше 0,3. 52. Випадкова величина X розподілена за нормальним законом. Середнє квадратичне відхилення цієї величини дорівнює 2. Знайдіть ймовірність того, що відхилення випадкової величини X від її математичного очікування по абсолютній величині буде менше 0,1. 53. Випадкова величина X підпорядковується нормальному закону розподілу з математичним очікуванням 30 і дисперсією 100. Знайдіть ймовірність того, що значення випадкової величини укладено в інтервалі (10; 50). 54. Знайдіть дисперсію випадкової величини X. заданої таблицею розподілу: 55. При виробленні деякої масової продукції ймовірність появи одного нестандартного виробу становить 0,01. Яка ймовірність того, що в партії з 100 виробів цієї продукції 2 вироби будуть нестандартними? 56. На завод прибула партія деталей в кількості 1000 шт. Імовірність того, що одна деталь виявиться бракованою, дорівнює 0,001. Яка ймовірність того, що серед прибулих деталей буде 5 бракованих? 57. гральні кістки кидають 80 разів. Визначте ймовірність того, що цифра 3 з'явиться 20 разів. 58. При сталому технологічному режимі завод випускає в середньому 70% продукції першого сорту. Визначте ймовірність того, що з 1000 виробів число першосортних укладено між 652 і 760. 59. Імовірність настання випадкової події при окремому випробуванні дорівнює p. Визначте ймовірність того, що в n випробуваннях подія настане поспіль k раз. 60. Підрахуйте при одночасному киданні n гральних кісток кількість випадків, в яких певна грань зустрічається k раз.
вимірювань оцінити # 945 ;;
# 945; і # 963 ;.Схожі статті