Закони розподілу випадкової величини
Випадкові величини мають різні закони розподілу.
У деяких завданнях практики зустрічаються безперервні випадкові величини, про які заздалегідь відомо, що їх можливі значення лежать в межах деякого певного інтервалу; крім того, відомо, що в межах цього інтервалу все значення випадкової величини однаково вірогідні (точніше, володіють однією і тією ж щільністю ймовірності). Про таких випадкових величинах говорять, що вони розподіляються за законом рівномірної щільності.
Безперервна випадкова величина Х, яка бере тільки позитивні значення має показове (або експоненціальне) розподіл, якщо
де - параметр показового розподілу, повністю визначає його.
Інтервал часу між двома сусідніми подіями в найпростішому потоці має показовий розподіл з параметром, рівним інтенсивності потоку. Наприклад, напрацювання об'єкта на відмову (час до чергового виходу об'єкта з працездатного стану) розподіляється по експоненціальному закону з інтенсивністю рівної
де - середній час між відмовами.
Найбільший інтерес при виконанні вимірювань являє нормальний закон розподілу (розподіл Гаусса).
Нормальний закон розподілу грає виключно важливу роль в теорії ймовірностей і займає серед інших законів розподілу особливе становище. Це - найбільш часто зустрічається на практиці закон розподілу. Головна особливість, що виділяє нормальний закон серед інших законів, полягає в тому, що він є граничним законом, до якого наближаються інші закони розподілу при досить часто зустрічаються типових умовах.
Можна довести, що сума досить великого числа незалежних (або слабо залежних) випадкових величин, підпорядкованих яким завгодно законам розподілу, наближено підпорядковується нормальному закону, і це виконується тим точніше, чим більша кількість випадкових величин підсумовується. Більшість зустрічаються на практиці випадкових величин, таких, наприклад, як помилки вимірювань. помилки стрільби і т. д. можуть бути представлені як суми досить великого числа порівняно малих доданків - елементарних помилок, кожна з яких викликана дією окремої причини, що не залежить від інших. Яким би законам розподілу не були підпорядковані окремі елементарні помилки, особливості цих розподілів в сумі великого числа доданків нівелюються, і сума виявляється підлеглою закону, близькому до нормального.
Основне обмеження. накладається на підсумовувані помилки, полягає в тому, щоб вони все рівномірно грали в загальній сумі відносно малу роль.
Нормальний закон розподілу характеризується щільністю ймовірності виду:
Ймовірність влучення випадкової величини в інтервал від a до b визначається залежністю
або, використовуючи т.зв. функцію Лапласа (), значення якої табульовані (Додаток. 1),
Для нормально розподіленої випадкової величини все розсіювання з точністю до 1% (99% реалізацій величини) укладається в інтервалі.
Нормальний закон описує розподіл випадкової величини на інтервалі від до. Однак, як правило, інтервал розподілу випадкової величини обмежений конкретними значеннями величини a і b. В такому випадку використовується усічений нормальний закон розподілу. відрізняється множником - нормує коефіцієнтом, який визначається по залежності
Чисельне значення фізичної величини виходить в результаті її вимірювання, т. Е. Порівняння її з іншою величиною того ж роду, прийнятої за одиницю. При проведенні вимірювань отримання точного значення вимірюваної величини фізично неможливо. Дослідник отримує значення величини з деяким відхиленням, званим помилкою вимірювання. Помилкою вимірювання називається різниця між результатом вимірювання і істинним значенням вимірюваної величини. Помилка вимірювання зазвичай невідома, як і справжнє значення величини. Помилки вимірювання мають різні величини, викликаються різними причинами і класифікуються наступним чином.
Грубі помилки виникають внаслідок порушення основних умов вимірювання або в результаті недогляду експериментатора. При виявленні грубої помилки результат вимірювання слід відразу відкинути, а саме вимірювання повторити (якщо це можливо). Зовнішнім ознакою результату, що містить грубу помилку, є його різка відмінність за величиною від результатів інших вимірів.
Помилки вимірювання викликаються великою кількістю різноманітних причин (факторів). Іноді в проведеної серії вимірювань один з факторів виявляється переважаючим. Наприклад, якщо після вимірів виявлено неправильне регулювання приладу, яка привела до зміщення початку відліку, то все зняті показання будуть зміщені або на постійну величину, якщо шкала приладу рівномірна, або на величину, що змінюється за певним законом, якщо шкала приладу нерівномірна. Іншим прикладом може служити зміна зовнішніх умов, наприклад, температури, якщо відомо вплив цих змін на результати вимірювань.
Прийнято говорити, що кожна з таких причин викликає систематичну помилку. Виявлення таких помилок досить трудомісткий, але результати вимірювань можна легко виправити.
Помилки вимірювання, що залишаються після усунення всіх виявлених систематичних помилок, т. Е. Помилки результатів вимірювань, виправлених шляхом введення відповідних поправок, називаються випадковими. Випадкові помилка викликаються великою кількістю таких факторів, ефекти дії яких настільки незначні, що їх не можна виділити і врахувати окремо. Випадкову помилку можна розглядати як сумарний ефект дії таких факторів.
Випадкові помилки є невід'ємними, їх не можна виключити в кожному з результатів вимірювань. Але за допомогою методів теорії ймовірностей можна врахувати їх вплив на оцінку істинного значення вимірюваної величини, що дозволяє визначити значення вимірюваної величини зі значно меншою помилкою, ніж помилки окремих вимірювань.
Для оцінки достовірності результатів вимірювань вводяться в розгляд поняття довірчого інтервалу і довірчої ймовірності.
Довірчим називається інтервал значень. в який потрапляє істинне значення вимірюваної величини із заданою вірогідністю.
Довірчою ймовірністю (достовірністю) вимірювання називається вірогідність того, що істинне значення вимірюваної величини потрапляє в даний довірчий інтервал. тобто в зону. Ця величина визначається в частках одиниці або у відсотках
де - інтегральна функція Лапласа (Додаток. 1).
Інтегральна функція Лапласа визначається таким виразом:
Аргументом цієї функції є гарантійний коефіцієнт:
де - половина довірчого інтервалу,.
Якщо ж на основі певних даних встановлена довірча ймовірність (часто її приймають рівною 0.95. 0.99 або 0.999 в залежності від ступеня відповідальності розрахунку), то встановлюється точність вимірювань (довірчий інтервал) на основі співвідношення
Половина довірчого інтервалу дорівнює
де - аргумент функції Лапласа, якщо (Додаток. 1);
- аргумент функції Стьюдента, якщо (Додаток. 2). В останньому випадку, залежить не тільки від довірчої ймовірності, але і від ступеня свободи.
Таким чином, довірчий інтервал характеризує точність вимірювання даної вибірки, а довірча ймовірність () - достовірність вимірювання.
Значення називають рівнем значущості. З нього випливає, що при нормальному законі розподілу помилок похибка, що перевищує довірчий інтервал, буде зустрічатися один раз з вимірювань, де
Це означає, що доводиться бракувати один з вимірів.