Дисперсія випадкової величини
Цей термін має також інші значення див. Дисперсія.
Дисперсія випадкової величини - міра розкиду даної випадкової величини. тобто її відхилення від математичного очікування. Позначається \ (D [X] \) в російській літературі і \ (\ operatorname (X) \) (англ. Variance) в зарубіжній. У статистиці часто вживається позначення \ (\ sigma_X ^ 2 \) або \ (\ displaystyle \ sigma ^ 2 \). Квадратний корінь з дисперсії, рівний \ (\ displaystyle \ sigma \), називається середньоквадратичним відхиленням. стандартним відхиленням або стандартним розкидом. Стандартне відхилення вимірюється в тих же одиницях. що і сама випадкова величина, а дисперсія вимірюється в квадратах цієї одиниці виміру.
З нерівності Чебишева слід, що ймовірність того, що випадкова величина відстоїть від свого математичного очікування більш ніж на k стандартних відхилень, становить менше 1 / k ². Так, наприклад, як мінімум в 95% випадків випадкова величина, що має нормальний розподіл, віддалена від її середнього не більше ніж на два стандартних відхилення, а в приблизно 99,7% - не більше ніж на три.
Визначення [ред]
Нехай \ (X \) - випадкова величина, визначена на деякому імовірнісному просторі. Тоді $$ D [X] = M \ left [| X -M [X] | ^ 2 \ right] $$
Зауваження [ред]
- Якщо випадкова величина \ (X \) матеріальна. то, в силу лінійності математичного очікування, справедлива формула: \ (D [X] = M [X ^ 2] - \ left (M [X] \ right) ^ 2; \)
- Дисперсія є другим центральним моментом випадкової величини;
- Дисперсія може бути нескінченною. Див. Наприклад, розподіл Коші.
- Дисперсія може бути обчислена за допомогою виробляє функції моментів \ (U (t) \): \ (D [X] = M [X ^ 2] - \ left (M [X] \ right) ^ 2 = U '' (0 ) - \ left (U '(0) \ right) ^ 2 \)
- Дисперсія целочисленной випадкової величини може бути обчислена за допомогою виробляє функції послідовності.
- Зручна формула для обчислення дисперсії випадкової послідовності \ (X_1. X_n \): \ (\! D = \ dfrac ^ nX_i ^ 2 - \ dfrac ^ n X_i \ right)> ^ 2> \)
Властивості [ред]
- Дисперсія будь випадкової величини неотрицательна: \ (D [X] \ geqslant 0; \)
- Якщо дисперсія випадкової величини конечна, то звичайно і її математичне сподівання;
- Якщо випадкова величина дорівнює константі, то її дисперсія дорівнює нулю: \ (D [a] = 0. \) Вірно і зворотне: якщо \ (D [X] = 0, \) то \ (X = M [X] \) майже всюди;
- Дисперсія суми двох випадкових величин дорівнює: \ (\! D [X + Y] = D [X] + D [Y] + 2 \, \ text (X, Y) \), де \ (\! \ Text (X , Y) \) - їх коваріація;
- Для дисперсії довільної лінійної комбінації декількох випадкових величин має місце рівність: \ (\! D \ left [\ sum_ ^ n c_i X_i \ right] = \ sum_ ^ n c_i ^ 2 D [X_i] + 2 \ sum_ c_i c_j \, \ text (X_i, X_j) \), де \ (c_i \ in \ R \);
- Зокрема, \ (D [X_1 +. + X_n] = D [X_1] +. + D [X_n] \) для будь-яких незалежних або некоррелірованних випадкових величин, так як їх коваріації дорівнюють нулю;
- \ (D \ left [aX \ right] = a ^ 2D [X]; \)
- \ (D \ left [-X \ right] = D [X]; \)
- \ (D \ left [X + b \ right] = D [X]. \)
Приклад [ред]
Нехай випадкова величина \ (\ displaystyle X \) має стандартне неперервний рівномірний розподіл на \ (\ displaystyle [0,1], \) тобто її щільність ймовірності задана рівністю $$ f_X (x) = \ left \<\begin 1, & x\in [0,1] \\ 0, & x \not\in [0,1]. \end \right.$$
Тоді математичне очікування квадрата випадкової величини $$ M \ left [X ^ 2 \ right] = \ int \ limits_0 ^ 1 \! X ^ 2 \, dx = \ left. \ Frac \ right \ vert_0 ^ 1 = \ frac, $$ і математичне сподівання випадкової величини $$ M \ left [X \ right] = \ int \ limits_0 ^ 1 \! x \, dx = \ left. \ Frac \ right \ vert_0 ^ 1 = \ frac. $$ Тоді дисперсія випадкової величини $$ D [X] = M \ left [X ^ 2 \ right] - (M [X]) ^ 2 = \ frac - \ left (\ frac \ right) ^ 2 = \ frac. $$