Ортогональна система функцій

Ортогональна система функцій, система функцій n (x)>, n = 1, 2. ортогональних з вагою r (х) на відрізку [а, b], т. Е. Таких, що

Приклади. Тригонометрична система 1, cosnx, sin nx; n = 1, 2. - Ортогональна система функцій з вагою 1 на відрізку [- p. p]. Бесселя функції, де n = 1, 2. - позитивні нулі J n (x), утворюють для кожного n> - 1/2 Ортогональна система функцій з вагою х на відрізку [0, l].

Якщо кожна функція j (х) з Ортогональна система функцій така, що (умова нормированности), то така система функцій називається нормованою. Будь-яку Ортогональна система функцій можна нормувати, помноживши j (х) на число - нормуючий множник.

Систематичне вивчення Ортогональна система функцій було розпочато в зв'язку з методом Фур'є вирішення крайових задач рівнянь математичної фізики. Цей метод призводить, наприклад, до розшуку рішень Штурма - Ліувілля завдання для рівняння [r (х) у ']' + q (x) y = l у, що задовольняють граничним умовам у (а) + hy '(a) = 0, y (b) + Hy '(b) = 0, де h і Н - постійні. Ці рішення - т. Зв. власні функції задачі - утворюють Ортогональна система функцій з вагою r (х) на відрізку [a, b].

Надзвичайно важливий клас Ортогональна система функцій - ортогональні многочлени - був відкритий П. Л. Чебишева в його дослідженнях по інтерполяції способом найменших квадратів і проблемі моментів. У 20 ст. дослідження по Ортогональна система функцій проводяться в основному на базі теорії інтеграла і заходи Лебега. Це сприяло виділенню цих досліджень в самостійний розділ математики. Одна з основних завдань теорії Ортогональна система функцій- завдання про розкладання функції f (x) в ряд виду, де - Ортогональна система функцій Якщо покласти формально, де - нормована Ортогональна система функцій, і допустити можливість почленного інтеграції. то, примножуючи цей ряд на j п (х) r (х) і інтегруючи від а до b, отримаємо: (*)

Коефіцієнти Сп. звані коефіцієнтами Фур'є функції щодо системи , мають наступну екстремальним властивістю: лінійна форма щонайкраще наближає в середньому цю функцію. Іншими словами, середня квадратична помилка з вагою r (х):

(*)

має найменше значення в порівнянні з помилками, що даються при тому ж n іншими лінійними виразами вигляду. Звідси, зокрема, виходить т. Н. нерівність Бесселя

Ряд з коефіцієнтами Сп. обчисленими за формулою (*), називається рядом Фур'є функції f (x) по нормованої Ортогональна система функцій . Для додатків першорядну важливість має питання, чи визначається однозначно функція f (x) своїми коефіцієнтами Фур'є. Ортогональна система функцій, для яких це має місце, називається повними, або замкнутими. Умови замкнутості Ортогональна система функцій можуть бути дані в декількох еквівалентних формах. 1) Будь-яка безперервна функція f (x) може бути з будь-яким ступенем точності наближена в середньому лінійними комбінаціями функцій j k (x), тобто в цьому випадку говорять, що ряд сходиться в середньому до функції f (x)]. 2) Для будь-якої функції f (x), квадрат якої інтегруємо щодо ваги r (х), виконується умова замкнутості Ляпунова - Стеклова:

3) Не існує відмінної від нуля функції з інтегрованим на відрізку [a, b] квадратом, ортогональної до всіх функцій j n (x), n = 1, 2.

Якщо розглядати функції з інтегрованим квадратом як елементи гильбертова простору. то нормовані Ортогональна система функцій будуть системами координатних ортов цього простору. а розкладання в ряд по нормованим Ортогональна система функцій - розкладанням вектора по ортам. При цьому підході багато понять теорії нормованих Ортогональна система функцій набувають наочний геометричний сенс. Наприклад, формула (*) означає, що проекція вектора на орт дорівнює скалярному добутку вектора і орта; рівність Ляпунова - Стеклова може бути витлумачено як теорема Піфагора для бесконечномерного простору: квадрат довжини вектора дорівнює сумі квадратів його проекцій на осі координат; замкнутість Ортогональна система функцій означає, що найменше замкнутий підпростір. що містить всі вектори цієї системи, збігається з усім простором і т.д.

Літ. Толстов Г. П. Ряди Фур'є, 2 видавництва. М. 1960; Натансон І. П. Конструктивна теорія функцій. М. - Л. 1949; його ж, Теорія функцій дійсної змінної, 2 видавництва. М. 1957; Джексон Д. Ряди Фур'є і ортогональні поліноми, пер. з англ. М. 1948; Качмаж С. Штейнгауз Г. Теорія ортогональних рядів, пров. з нім. М. 1958.

Так само Ви можете дізнатися про.

Схожі статті

• Поняття ортогональної системи функцій

• Що значить ортогональна система функцій - значення слів

• Ортогональна система функцій - це