Поняття ортогональної системи функцій
Поняття ортогональної системи функцій
Определеніе1.Сістема (безліч, сукупність) функцій, визначених на відрізку. називається ортогональної на цьому відрізку, якщо при і
Зауважимо, що всі функції, що входять в систему:
є періодичними з загальним найменшим позитивним періодом 2π.
Справді, # 966; 1 (х) = 1-періодична з будь-яким, відмінним від нуля періодом, функції # 966; 2 (х) = cosx і # 966; 3 (х) = sinx мають найменший позитивний період 2π, а функції cosп x іsin пx мають найменший позитивний період. Тому число Т = 2π є з одного боку загальним, а з іншого боку найменшим позитивним періодом для всіх функцій, що входять в систему.
Теорема 1.Інтеграл від періодичної функції з будь-якого відрізку, довжина якого дорівнює позитивному періоду, не залежить від вибору відрізка інтегрування.
Дійсно, нехай Т> 0 - період функції f (x), а - довільне дійсне число. Доведемо, що
По властивості адитивності певного інтеграла
(Тому що певний інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування).
Отримали: i3 = - i1. отже. що й потрібно було довести.
Теорема 2.Трігонометріческая система функцій ортогональна на будь-якому відрізку довжини 2π.
З огляду на твердження теореми 1, доказ проведемо для симетричного відрізка.
Спочатку доведемо ортогональность функції # 966; 1 (х) = 1 до всіх інших:
,так як при будь-якому натуральному k функція непарна, а відрізок інтегрування симетричний.
Тепер доведемо ортогональность всіх синусів всім косинусам:
при будь-яких k і m N (навіть при будь-якому k = m), тому що підінтегральна функція непарна.
Далі доведемо ортогональность косинусів з різними аргументами, тобто при k ≠ m.
Тепер перевіримо ортогональность синусів з різними аргументами, тобто при k ≠ m.
(Див. Попередній інтеграл).
Залишилося обчислити інтеграли від квадратів функцій системи:
Визначення 3.Функціональний ряд виду
складений з функцій тригонометричної системи з