Ортогональна система функцій - це
Ортогональна система функцій
система функцій n (x)>, n = 1, 2. ортогональних з вагою ρ (х) на відрізку [а. b], т. е. таких, що
Приклади. Тригонометрична система 1, cosnx. sin nx; n = 1, 2. - О. с. ф. з вагою 1 на відрізку [-π, π]. Бесселя функції - 1/2 О. с. ф. з вагою х на відрізку [0, l].
Якщо кожна функція φ (х) з О. с. ф. така, що
Систематичне вивчення О. с. ф. було розпочато у зв'язку з методом Фур'є вирішення крайових задач рівнянь математичної фізики. Цей метод призводить, наприклад, до розшуку рішень Штурма - Ліувілля завдання (Див. Штурма - Ліувілля завдання) для рівняння [ρ (х) у ']' + q (x) y = λу. задовольняють граничним умовам у (а) + hy '(a) = 0, y (b) + Hy' (b) = 0, де h і Н - постійні. Ці рішення - т. Зв. власні функції задачі - утворюють О. с. ф. з вагою ρ (х) на відрізку [a. b].
Надзвичайно важливий клас О. с. ф. - Ортогональні многочлени - був відкритий П. Л. Чебишев им в його дослідженнях по інтерполяції способом найменших квадратів і проблемі моментів. У 20 ст. дослідження по О. с. ф. проводяться в основному на базі теорії інтеграла і заходи Лебега. Це сприяло виділенню цих досліджень в самостійний розділ математики. Одна з основних завдань теорії О. с. ф.- завдання про розкладання функції f (x) в ряд виду
Коефіцієнти Сп. звані коефіцієнтами Фур'є функції щодо системи n (x)>, мають наступну екстремальним властивістю: лінійна форма
має найменше значення в порівнянні з помилками, що даються при тому ж n іншими лінійними виразами вигляду
Ряд Σ ∞ n = 1Cn φn (x) з коефіцієнтами Сп. обчисленими за формулою (*), називається рядом Фур'є функції f (x) по нормованої О. с. ф. n (x)>. Для додатків першорядну важливість має питання, чи визначається однозначно функція f (x) своїми коефіцієнтами Фур'є. О. с. ф. для яких це має місце, називається повними, або замкнутими. Умови замкнутості О. с. ф. можуть бути надані в декількох еквівалентних формах. 1) Будь-яка безперервна функція f (x) може бути з будь-яким ступенем точності наближена в середньому лінійними комбінаціями функцій φk (x), тобто ∞ n = 1Cn φn (x) сходиться в середньому до функції f (x)]. 2) Для будь-якої функції f (x), квадрат якої інтегруємо щодо ваги ρ (х), виконується умова замкнутості Ляпунова - Стеклова:
3) Не існує відмінної від нуля функції з інтегрованим на відрізку [a. b] квадратом, ортогональної до всіх функцій φn (x), n = 1, 2.
Якщо розглядати функції з інтегрованим квадратом як елементи гильбертова простору (Див. Гільбертовому просторі), то нормовані О. с. ф. будуть системами координатних ортов цього простору, а розкладання в ряд по нормованим О. с. ф. - розкладанням вектора по ортам. При цьому підході багато понять теорії нормованих О. с. ф. набувають наочний геометричний сенс. Наприклад, формула (*) означає, що проекція вектора на орт дорівнює скалярному добутку вектора і орта; рівність Ляпунова - Стеклова може бути витлумачено як теорема Піфагора для бесконечномерного простору: квадрат довжини вектора дорівнює сумі квадратів його проекцій на осі координат; замкнутість О. с. ф. означає, що найменше замкнутий підпростір, що містить всі вектори цієї системи, збігається з усім простором і т.д.
Літ .: Толстов Г. П. Ряди Фур'є, 2 видавництва. М. 1960; Натансон І. П. Конструктивна теорія функцій, М. - Л. 1949; його ж, Теорія функцій дійсної змінної, 2 видавництва. М. 1957; Джексон Д. Ряди Фур'є і ортогональні поліноми, пер. з англ. М. 1948; Качмаж С. Штейнгауз Г. Теорія ортогональних рядів, пров. з нім. М. 1958.
Велика Радянська Енциклопедія. - М. Радянська енциклопедія. 1969-1978.
Дивитися що таке "Ортогональна система функцій" в інших словниках:
Ортогональній системі ФУНКЦІЙ - (отгреч. Orthogonios прямокутний) кінцева або рахункова система ф ций. належать (Сепар бельной) гільбертовому просторі L2 (a, b) (квадратично інтегрованих ф ций) і задовольняють умовам Ф ція g (x) наз. вагою О. с. ф., * означає ... ... Фізична енциклопедія
Ортогональній системі ФУНКЦІЙ - система функцій. n (х). n = 1, 2. заданих на відрізку ортогональних перетворень лінійне перетворення евклідового векторного простору, що зберігає незмінними довжини або (що еквівалентно цього) скалярні твори векторів ... Великий Енциклопедичний словник
ортогональна система функцій - система функцій, n = 1, 2. заданих на відрізку [а, b] і задовольняють наступній умові ортогональності: при k ≠ l, де ρ (х) деяка функція, звана вагою. Наприклад, тригонометрическая система 1, sin х, cos х, sin 2х, ... ... Енциклопедичний словник
Ортогональній системі ФУНКЦІЙ - система ф ций, п = 1, 2. заданих на відрізку [а, b], які задовольняли б слід, умові ортогональності при k не дорівнює l, де р (х) недо раю ф ція, наз. вагою. Напр. трігонометріч. система 1, sin х, cosх, sin 2х, cos 2x. О.с.ф. з вагою ... ... Природознавство. енциклопедичний словник
Повна система функцій - така система функцій Ф =, визначених на відрізку [a, b], що не існує функції f (x), для якої, х) з Ф, т. Е. Для якої при будь-якої функції φ (х) з Ф (інтеграли розуміються в сенсі Лебега, см. Інтеграл) ... Велика радянська енциклопедія
система - 4.48 система (system): Комбінація взаємодіючих елементів, організованих для досягнення однієї або декількох поставлених цілей. Примітка 1 Система може розглядатися як продукт або надані їм послуги. Примітка 2 На практиці ... ... Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації
Ортонормированном СИСТЕМА - 1) О. с. векторів безліч ненульових векторів евклідового (гильбертова) простору зі скалярним добутком (.) таке, що при (ортогональность) і (нормованих). М. І. Войцеховський. 2) О. с. ф у н к ц і і система функцій простору ... ... Математична енциклопедія
Ортогоналізації СИСТЕМИ ФУНКЦІЙ - побудова для заданої системи функцій, інтегрованих з квадратом на відрізку [а, видання] функцій ортогональної системи шляхом застосування недо якого процесу ортогоналізації або ж шляхом продовження функцій fn (x) .на довший ... ... Математична енциклопедія