Метод інтегрування частинами
Література: Збірник завдань з математики. Частина 1. Під ред А. В. Єфімова, Б. П. Демидовича.
Якщо $ u (x) $ і $ v (x) - $ диференціюються, то справедлива наступна формула інтегрування частинами. $$ \ int u (x) v '(x)', dx = u (x) v (x) - \ int v (x) u '(x) dx, $$
Або в короткій записи $$ \ int u \, dv = uv- \ int v \, du. $$
Ця формула використовується в тих випадках, коли підінтегральний вираз $ f (x) dx $ можна так представити у вигляді $ u \, dv $ щоб можна було знайти $ v = \ int \, dv $ і отриманий в правій частині інтеграл $ \ int v \, du $ був простіше вихідного $ \ int u \, dv. $
$$ \ int P_n (x) \ cos mx \, dx; $$
$$ \ int P_n (x) \ sin nx \, dx; $$
де $ P_n (x) - $ поліном ступеня $ n $ від $ x: $ $ u = P_n (x), $ а $ dv - $ все, що залишилося.
$$ \ int P_n (x) \ ln ^ mx \, dx; $$
$$ \ int P_n (x) \ arccos x \, dx; $$
$$ \ int P_n (x) \ arcsin x \, dx; $$
$$ \ int P_n (x) arctg x \, dx; $$
$$ \ int P_n (x) arcctg x \, dx, $$
де $ P_n (x) - $ поліном ступеня $ n $ від $ x: $ $ dv = P_n (x) dx, $ а $ u - $ все, що залишилося.
Відзначимо, що для обчислення інтеграла, формула інтегрування частинами може застосовуватися неодноразово.
$$ \ int \ arccos x \, dx = \ left [\ beginu = \ arccos x \ Rightarrow du = - \ frac> \, dx \\ dv = dx \ Rightarrow v = x \ end \ right] = $$ $ $ = \ arccos x \ cdot x- \ int x \ left (- \ frac> \ right) \, dx = x \ arccos x + \ int \ frac>. $$
Обчислимо інтеграл, отриманий в правій частині:
$$ \ int \ arccos x \, dx = x \ arccos x + \ sqrt + C. $$
$$ \ int x ^ 2 \ sin x \, dx = \ left [\ beginu = x ^ 2 \ Rightarrow du = 2x \, dx \\ dv = \ sin xdx \ Rightarrow v = - \ cos x \ end \ right ] = $$ $$ = - x ^ 2 \ cos x + 2 \ int \ cos x \ cdot x \, dx \, dx = \ left [\ beginu = x \ Rightarrow du = dx \\ dv = \ cos x \, dx \ Rightarrow v = \ sin x \ end \ right] = $$ $$ = - x ^ 2 \ cos x + 2 (x \ sin x- \ int \ sin x \, dx) = - x ^ 2 \ cos x + 2x \ sin x + 2 \ cos x + C. $$
$$ \ int x ^ 3 e ^ \, dx = \ left [\ beginu = x ^ 2 \ Rightarrow du = 2x \, dx \\ dv = xe ^ dx \ Rightarrow v = \ int xe ^ \, dx \ end \ right]. $$
Нехай $ \ int e ^ \ cos bx \, dx = I. $ Тоді отримане рівність перепишемо таким чином:
$$ \ int \ cos (\ ln x) \, dx = \ left [\ beginu = \ cos (\ ln x) \ Rightarrow du = - \ frac \ sin (\ ln x) \, dx \\ dv = dx \ Rightarrow v = x \ end \ right] = $$ $$ = \ cos (\ ln x) x- \ int x \ cdot \ left (- \ frac \ sin (\ ln x) \ right) \, dx = x \ cos (\ ln x) + \ int \ sin (\ ln x) \, dx. $$
$$ \ int \ sin (\ ln x) \, dx = \ left [\ beginu = \ sin (\ ln x) \ Rightarrow du = \ frac \ cos (\ ln x) \, dx \\ dv = dx \ Rightarrow v = x \ end \ right] = $$ $$ = \ sin (\ ln x) x- \ int x \ cdot \ left (\ frac \ cos (\ ln x) \ right) \, dx = x \ sin (\ ln x) - \ int \ cos (\ ln x) \, dx. $$
Таким чином, $$ \ int \ cos (\ ln x) \, dx = x \ cos (\ ln x) + x \ sin (\ ln x) - \ int \ cos (\ ln x) \, dx. $ $
Нехай $ \ int \ cos (\ ln x) \, dx = I. $ Тоді запишемо і вирішимо рівняння
$$ I = x \ cos (\ ln x) + x \ sin (\ ln x) -I \ Rightarrow $$ $$ \ Rightarrow 2I = x \ cos (\ ln x) + x \ sin (\ ln x) \ Rightarrow $$ $$ \ Rightarrow I = \ frac (x \ cos (\ ln x) + x \ sin (\ ln x). $$