Інтегрування за частинами 1
де і - довільні диференціюються.
Формула (1) дозволяє звести одну проблему інтегрування до іншої. Висновок цієї формули досить простий:
Процедура інтегрування частинами складається з двох етапів. По-перше, підінтегральної функції f (x) потрібно подати у вигляді добутку деяких функцій u (x) і:
Наприклад, можна покласти, що означає,.
По-друге, щоб знайти і, потрібно продифференцировать u (x) і проінтегрувати.
(Зауважимо, що в вираженні для постійну інтегрування можна покласти рівною нулю.)
Найскладнішим етапом методу інтегрування частинами є вибір функцій u (x) і, оскільки не існує універсального правила, що застосовується у всіх випадках. Розуміння приходить тільки з досвідом. Тому на першій стадії ознайомлення з методом потрібно який-небудь вибір і подивитися - чи буде отриманий інтеграл простіше вихідного. Якщо немає, то зробіть інший вибір, перебираючи різні варіанти до тих пір, поки не буде знайдений найкращий. Зазвичай достатньо вирішити кілька прикладів, щоб навчитися відразу робити правильний вибір. Як орієнтири можна використовувати такі прості критерії.
(A): Інтеграл від повинен обчислюватися досить просто.
(B): Похідна від u (x) повинна бути досить простою функцією - бажано, більш простий, ніж сама функція u (x).
Як приклад застосування методу інтегрування частинами обговоримо детально процедуру обчислення інтеграла
.
Можливі наступні варіанти представлення підінтегральної функції у вигляді твору.Варіанти (3) і (4) суперечать критерієм (B) і тільки п'ятий варіант прийнятний у всіх відносинах.
Дійсно, по-перше, статечна функція легко інтегрується:
По-друге, похідною від ln x є раціональна функція яка, безумовно, значно простіше логарифмічною функції.
Застосовуючи формулу інтегрування частинами, отримуємо