Інтегрування по частинах
У цій темі ми детально поговоримо обчисленні невизначених інтегралів за допомогою так званої "формули інтегрування частинами". Нам знадобиться таблиця невизначених інтегралів і таблиця похідних. У першій частині будуть розібрані стандартні приклади, які здебільшого зустрічаються в типових розрахунках і контрольних роботах. Більш складні приклади розібрані в другій частині.
Постановка завдання в стандартному випадку наступна. Припустимо, під інтегралом у нас розташовані дві функції різної природи. многочлен і тригонометрическая функція, многочлен і логарифм, многочлен і зворотна тригонометрическая функція і так далі. У цій ситуації вигідно відокремити одну функцію від іншої. Грубо кажучи, має сенс розбити підінтегральний вираз на частини, - і розібратися з кожною частиною окремо. Звідси і назва: "інтегрування по частинах". Застосування цього методу засноване на наступній теоремі:
Нехай функції $ u (x) $ і $ v (x) $ діфференцируєми на деякому проміжку, і на цьому проміжку існує інтеграл $ \ int v \; du $. Тоді на цьому самому проміжку існує і інтеграл $ \ int u \; dv $, при цьому вірно наступне рівність:
Формулу (1) і називають "формулою інтегрування частинами". Іноді, застосовуючи вищевказану теорему, говорять про використання "методу інтегрування по частинах". Нам буде важлива суть цього методу, яку і розглянемо на прикладах. Існує кілька стандартних випадків, в яких явно застосовна формула (1). Саме ці випадки і стануть темою даної сторінки. Нехай $ P_n (x) $ - многочлен n-го ступеня. Введемо два правила:
Для інтегралів виду $ \ int P_n (x) \ ln x \; dx $, $ \ int P_n (x) \ arcsin x \; dx $, $ \ int P_n (x) \ arccos x \; dx $, $ \ int P_n (x) \ arctg x \; dx $, $ \ int P_n (x) \ arcctg x \; dx $ приймаємо $ dv = P_n (x) dx $.
Для інтегралів виду $ \ int P_n (x) a ^ x \; dx $ ($ a $ - деяке позитивне число), $ \ int P_n (x) \ sin x \; dx $, $ \ int P_n (x) \ cos x \; dx $, $ \ int P_n (x) ch x \; dx $, $ \ int P_n (x) sh x \; dx $ приймаємо $ u = P_n (x) $.
Відразу зазначу, що зазначені вище записи не потрібно сприймати буквально. Наприклад, в інтеграли виду $ \ int P_n (x) \ ln x \; dx $ не обов'язково буде стояти саме $ \ ln x $. Там можуть бути розташовані і $ \ ln 5x $, і $ \ ln (10x ^ 2 + 14x-5) $. Тобто запис $ \ ln x $ потрібно сприймати як свого роду узагальнення.
Ще один момент. Буває, що формулу інтегрування частинами доводиться застосовувати кілька разів. Про це поговоримо докладніше в прикладах №4 і №5. Тепер перейдемо безпосередньо до вирішення типових задач. Рішення задач, рівень яких трохи вище стандартних, розбирається в другій частині.
Знайти $ \ int (3x + 4) \ cos (2x-1) \; dx $.
Під інтегралом розташований многочлен $ 3x + 4 $ і тригонометрическая функція $ \ cos (2x-1) $. Це класичний випадок для застосування формули (1). тому візьмемо заданий інтеграл по частинах. Формула (1) вимагає, щоб інтеграл $ \ int (3x + 4) \ cos (2x-1) \; dx $ був представлений в формі $ \ int u \; dv $. Нам потрібно вибрати вирази для $ u $ і для $ dv $. Можна в якості $ u $ прийняти $ 3x + 4 $, тоді $ dv = \ cos (2x-1) dx $. Можна взяти $ u = \ cos (2x-1) $, тоді $ dv = (3x + 4) dx $. Щоб зробити правильний вибір звернемося до правилом №2. Заданий інтеграл $ \ int (3x + 4) \ cos (2x-1) \; dx $ підпадає під вид $ \ int P_n (x) \ cos x \; dx $ (многочлен $ P_n (x) $ в нашому інтеграл має вигляд $ 3x + 4 $). Згідно з правилом №2 потрібно вибрати $ u = P_n (x) $, тобто в нашому випадку $ u = 3x + 4 $. Так як $ u = 3x + 4 $, то $ dv = \ cos (2x-1) dx $.
Однак недостатньо просто вибрати $ u $ і $ dv $. Нам ще знадобляться значення $ du $ і $ v $. Так як $ u = 3x + 4 $, то:
Тепер розберемося з функцією $ v $. Так як $ dv = \ cos (2x-1) dx $, то згідно з визначенням невизначеного інтеграла маємо: $ v = \ int \ cos (2x-1) \; dx $. Щоб знайти потрібний інтеграл застосуємо внесення під знак диференціала:
Однак нам потрібно не все безліч функцій $ v $, яке описує формула $ \ frac + C $. Нам потрібна якась одна функція з цього безлічі. Щоб отримати шукану функцію потрібно замість $ C $ підставити будь-яке число. Найпростіше, звичайно, підставити $ C = 0 $, отримавши при цьому $ v = \ frac $.
Отже, зберемо все вищевикладене воєдино. Ми маємо: $ u = 3x + 4 $, $ du = 3dx $, $ dv = \ cos (2x-1) dx $, $ v = \ frac $. Підставляючи все це в праву частину формули (1) будемо мати:
Залишилося, по суті, тільки знайти $ \ int \ frac \ cdot 3dx $. Виносячи константу (тобто $ \ frac $) за знак інтеграла і застосовуючи метод внесення під знак диференціала. отримаємо:
Отже, $ \ int (3x + 4) \ cos (2x-1) \; dx = \ frac + \ frac \ cdot \ cos (2x-1) + C $. В скороченому вигляді процес вирішення записують так:
Невизначений інтеграл частинами знайдений, залишилося лише записати відповідь.
Вважаю, тут не обійдеться без питання, тому спробую сформулювати його і дати відповідь.
Чому ми прийняли саме $ u = 3x + 4 $ і $ dv = \ cos (2x-1) dx $? Так, інтеграл було вирішене. Але, може бути, якби ми взяли $ u = \ cos (2x-1) $ і $ dv = (3x + 4) dx $ інтеграл теж був би знайдений!
Ні, якщо прийняти $ u = \ cos (2x-1) $ і $ dv = (3x + 4) dx $, то нічого хорошого з цього не вийде, - інтеграл не спростила. Судіть самі: якщо $ u = \ cos (2x-1) $, то $ du = (\ cos (2x-1)) 'dx = -2 \ sin (2x-1) dx $. Крім того, так як $ dv = (3x + 4) dx $, то:
Прийнявши $ C = 0 $, отримаємо $ v = \ frac + 4x $. Підставами тепер в формулу (1) знайдені значення $ u $, $ du $, $ v $ і $ dv $:
$$ \ int (3x + 4) \ cos (2x-1) \; dx = \ cos (2x-1) \ cdot \ left (\ frac + 4x \ right) - \ int \ left (\ frac + 4x \ right) \ cdot (-2 \ sin (2x-1) dx) = \ \ = \ cos (2x-1) \ cdot \ left (\ frac + 4x \ right) +2 \ cdot \ int \ left (\ frac + 4x \ right) \ sin (2x-1) \; dx $$
І до чого ми прийшли? Ми прийшли до інтеграла $ \ int \ left (\ frac + 4x \ right) \ sin (2x-1) \; dx $, який явно складніше ніж вихідний інтеграл $ \ int (3x + 4) \ cos (2x-1) \; dx $. Це говорить про те, що вибір $ u $ і $ dv $ був зроблений невдало. Після застосування формули інтегрування частинами отриманий інтеграл повинен бути простіше вихідного. Знаходячи невизначений інтеграл по частинах ми повинні спрощувати його, а не ускладнювати, тому якщо після застосування формули (1) інтеграл ускладнився, то вибір $ u $ і $ dv $ здійснений некоректно.
Знайти $ \ int (3x ^ 4 + 4x-1) \ ln 5x \; dx $.
Під інтегралом розташований многочлен (тобто $ 3x ^ 4 + 4x-1 $) і $ \ ln 5x $. Цей випадок підпадає під правило №1. тому візьмемо інтеграл по частинах. Заданий інтеграл має таку ж структуру, як і інтеграл $ \ int P_n (x) \ ln x \; dx $. Знову, як і в прикладі №1, нам потрібно вибрати якусь частину подинтегрального вираження $ (3x ^ 4 + 4x-1) \ ln 5x \; dx $ як $ u $, а якусь частину - як $ dv $. Згідно з правилом №1. потрібно вибрати $ dv = P_n (x) dx $, тобто в нашому випадку $ dv = (3x ^ 4 + 4x-1) dx $. Якщо з виразу $ (3x ^ 4 + 4x-1) \ ln 5x \; dx $ "вилучити" $ dv = (3x ^ 4 + 4x-1) dx $, то залишиться $ \ ln 5x $ - це і буде функція $ u $. Отже, $ dv = (3x ^ 4 + 4x-1) dx $, $ u = \ ln 5x $. Для застосування формули (1) нам знадобляться також $ du $ і $ v $. Так як $ u = \ ln 5x $, то:
Тепер знайдемо функцію $ v $. Так як $ dv = (3x ^ 4 + 4x-1) dx $, то:
З усього знайденого нескінченної кількості функцій $ \ frac + 2x ^ 2x + C $ нам потрібно вибрати одну. А найпростіше це зробити прийнявши $ C = 0 $, тобто $ V = \ frac + 2x ^ 2x $. Для застосування формули (1) все готово. Підставами в праву частину зазначеної формули значення $ u = \ ln 5x $, $ du = \ fracdx $, $ v = \ frac + 2x ^ 2x $ і $ dv = (3x ^ 4 + 4x-1) dx $ будемо мати:
$$ \ int (3x ^ 4 + 4x-1) \ ln 5x \; dx = \ left | \ begin u = \ ln 5x; \; du = \ fracdx. \\ dv = (3x ^ 4 + 4x-1) dx; \; v = \ frac + 2x ^ 2x. \ End \ right | = \\ = \ ln 5x \ cdot \ left (\ frac + 2x ^ 2x \ right) - \ int \ left (\ frac + 2x ^ 2x \ right) \ cdot \ fracdx = \\ = \ left (\ frac + 2x ^ 2x \ right) \ cdot \ ln 5x - \ int \ left (\ frac + 2x-1 \ right) dx = \\ = \ left (\ frac + 2x ^ 2x \ right) \ cdot \ ln 5x - \ left (\ frac + x ^ 2x \ right) + C = \\ = \ left (\ frac + 2x ^ 2x \ right) \ cdot \ ln 5x - \ frac-x ^ 2 + x + C. $$
Відповідь. $ \ Int (3x ^ 4 + 4x-1) \ ln 5x \; dx = \ left (\ frac + 2x ^ 2x \ right) \ cdot \ ln 5x - \ frac-x ^ 2 + x + C $.
Знайти $ \ int \ arccos x \; dx $.
Цей інтеграл має структуру $ \ int P_n (x) \ arccos x \; dx $, що підпадає під правило №1. Розумію, що відразу виникне резонне питання: "а де в заданому інтегралі $ \ int \ arccos x \; dx $ сховали многочлен $ P_n (x) $? Там же немає ніякого багаточлена, тільки арккосинус і все!". Однак насправді під інтегралом розташований не тільки арккосинус. Я представлю інтеграл $ \ int arccos x \; dx $ в такому вигляді: $ \ int 1 \ cdot \ arccos x \; dx $. Погодьтеся, що від домноженія на одиницю підінтегральний вираз не зміниться. Ось ця одиниця і є $ P_n (x) $. Тобто $ Dv = 1 \ cdot dx = dx $. А в якості $ u $ (згідно з правилом №1) приймаємо $ \ arccos x $, тобто $ U = \ arccos x $. Значення $ du $ і $ v $, котрі беруть участь у формулі (1). знайдемо так само, як і в попередніх прикладах:
Як і в попередніх прикладах, вважаючи $ C = 0 $ отримаємо $ v = x $. Підставляючи всі знайдені параметри в формулу (1). матимемо наступне:
Відповідь. $ \ Int \ arccos x \; dx = x \ cdot \ arccos x- \ sqrt + C $.
Знайти $ \ int (3x ^ 2 + x) e ^ \; dx $.
У цьому прикладі формулу інтегрування частинами доведеться застосовувати два рази. Інтеграл $ \ int (3x ^ 2 + x) e ^ \; dx $ має структуру $ \ int P_n (x) a ^ x \; dx $. У нашому випадку $ P_n (x) = 3x ^ 2 + x $, $ a = e $. Згідно з правилом №2 маємо: $ u = 3x ^ 2 + x $. Відповідно, $ dv = e ^ dx $.
Знову-таки, як і в попередніх прикладах, вважаючи $ C = 0 $, маємо: $ v = \ frac> $.
Ми прийшли до інтеграла $ \ int (6x + 1) e ^ \; dx $, який знову необхідно брати по частинах. Прийнявши $ u = 6x + 1 $ і $ dv = e ^ dx $ матимемо:
Отримана відповідь можна і спростити, розкривши дужки і перегрупувавши складові:
Знайти $ \ int (x ^ 2 + 5) \ sin (3x + 1) \; dx $.
Тут, як і в попередньому прикладі, інтегрування по частинах застосовується двічі. Докладні пояснення було дано раніше, тому наведу лише рішення:
Застосування методу інтегрування частинами в кілька нестандартних випадках, які не підпадають під дію правил №1 і №2, буде дано в другій частині.