Механіка твердого тіла - студопедія
Кінетична енергія обертання. Момент інерції матеріальної точки і тіла відносно нерухомої осі.
Нехай матеріальна точка масою m рухається навколо деякої осі по колу радіуса r зі швидкістю # 965 ;. Тоді кінетичну енергію точки з урахуванням зв'язку лінійної і кутовий швидкостей # 965; = # 969; # 903; r можна записати так:
. де величина J = m # 903; r 2 називається моментом інерції матеріальної точки.
Моментом інерції тіла щодо осі називається сума моментів інерції еле-ментів (матеріальних точок), з яких скла-ит тіло:.
Момент інерції суцільного тіла визначаються-ють інтеграцією по всьому об'єму (по всьому матеріальних точок):.
Якщо тіло має щільність # 961 ;. то остання рівність можна представити у вигляді:
. де враховано, що d т = # 961; # 903; dV.
Момент інерції суцільного циліндра мас-сой т і радіусу підстави R відносно осі, що проходить через центр мас циліндра па-раллельно його утворює, розрахований за цією формулою, дорівнює:.
Для суцільного кулі масою т і радіуса R момент інерції щодо осі, що проходить через центр мас кулі, дорівнює:.
Момент інерції для стержня довжиною # 8467; і масою т щодо осі, що проходить через центр мас стержня перпендикулярно йому. .
Момент інерції J тіла характеризує, з одного боку, інертні властивості тіла при обертальному руху-ванні, а з іншого боку, розподіл речовини в просторі щодо осі. Момент інерції, так само як і маса тіла, є ад-дітівной величиною.
Якщо відомий момент інерції Jo тіла щодо осі, що проходить через центр мас тіла, то можна знайти його момент інерції щодо будь-якої іншої паралельної їй осі: J = J0 + m # 903; d 2, де d - відстань між осями.
Остання рівність висловлює теорему Штейнера: момент інерції щодо будь-якої осі обертання дорівнює моменту інерції щодо паралельної осі, що проходить через центр мас, складеному з твором маси тіла на квадрат відстані центру мас тіла від осі обертання.
З теореми Штейнера очевидно, що зав-жди J> J0, тобто мінімальне значення моменту інерції до-Стігала для осі, що проходить через центр мас.
Одиницею моменту інерції в системі СІ служить 1 кг # 903; м 2.
Якщо тіло котиться, то кінетична енергія такого тіла визначається поступальним рухом тіла як цілого і обертанням щодо рухомій осі: