матричні ігри
Знаходимо чисті ціни гри. Нижня чиста ціна α знаходиться з умови:
(Aij - елементи платіжної матриці), значить
Аналогічно, верхня чиста ціна гри визначається з умови:
Нижньої чистої ціною гри відповідає Максиміна стратегія А1. верхньої чистої ціною гри відповідає мінімаксна стратегія В4.
Так як чисті ціни гри збігаються, то α = β = = -7, де - чиста ціна гри. Гравці зобов'язані дотримуватися своїх максиминной і мінімаксної стратегій, так як в противному випадку перший гравець може просто програти більше 7 одиниць, а другий гравець замість виграшу в 7 одиниць може програти 10, 15, 20 одиниць.
Знайти рішення ігор, представлених платіжними матрицями:
Приклад 2. Знайти рішення матричної гри, заданої платіжною матрицею:
Проведемо спрощення платіжної матриці. Так як елементи першої і четвертої рядки збігаються, то відповідні чисті стратегії (А1 і А4) є дублюючими. Одну з них можна виключити з розгляду (наприклад, А1) а значить, виключити і перший рядок платіжної матриці. Всі елементи п'ятого рядка менше відповідних елементів другого рядка, т. Е. Стратегія А2 домінує над стратегією А5. Стратегію А5 і п'ятий рядок матриці не розглядаємо:
Так як елементи 3-го стовпця не перевищують відповідні елементи 1-го стовпця, елементи 5-го стовпчика не перевищують елементи 2-го стовпця, елементи 5-го стовпчика не перевищують елементи 6-го стовпчика, то стратегія B1 доминируется стратегією B3. стратегія B2 доминируется стратегією B5. стратегія B6 доминируется стратегією B5. Викреслюємо в платіжній матриці перший, другий і шостий стовпчики. Остаточно маємо наступну платіжну матрицю:
Нижня чиста ціна гри:
Верхня чиста ціна гри:
Чисті ціни гри не збігаються, значить, гра не має рішення в чистих стратегіях.
Знаходимо змішані стратегії гравців шляхом зведення матричної гри до задачі лінійного програмування. Завдання лінійного програмування для нашої платіжної матриці мають вигляд:
Вирішуючи ці завдання, наприклад, за допомогою комп'ютерної програми «Пошук рішення», отримаємо:
Ціну гри і оптимальні змішані стратегії для гравців знаходимо з співвідношень:
p1 = · x1 = 0,543; p2 = · x2 = 0, "
Остаточно, з урахуванням того, що в процесі спрощення платіжної матриці були виключені стратегії A1. A5. B1. B2. B6. оптимальні змішані стратегії такі:
p = (0; 0,543; 0, "0,286; 0);
q = (0; 0; 0,257; 0,4; 0,343; 0),
при цьому обидва гравці досягнуть ціни гри, яка дорівнює 2,514.
Знайти рішення ігор, представлених платіжними матрицями:
Приклад 3. Обсяг реалізації прохолодних напоїв влітку залежить від характеру погоди і становить 20 т в прохолодний день, 25 т в звичайний день і 30 т в жаркий день. Прибуток від реалізації 1 т напоїв дорівнює 1,5 млн руб. Замовлення додаткової кількості товару вимагає 2 млн руб. за 1 т напоїв. Якщо ж запасений товар не вдалося реалізувати, то витрати на зберігання складають 1 млн руб. Надавши описаної ситуації ігрову форму, дати обгрунтовані рекомендації про оптимальний рівень запасу товару, що забезпечує найвищу ефективність роботи.
Дана гра є статистичною, так як один з учасників гри (природа) не зацікавлений в результаті гри. Природа надає гравцеві три стратегії: П1 - прохолодна погода, П2 - звичайна погода, П3 - спекотна погода. Три стратегії має і зацікавлений гравець: Аi - замовити товар в розрахунку на стану природи Пi. i = 1, 2, 3.
Складаємо платіжну матрицю:
Згідно з критерієм Севіджа, оптимальною вважається стратегія, для якої мінімізується максимальний ризик, т. Е. Досягається.
У нашому прикладі min (20, 10, 10) = 10, і оптимальними є стратегії А2 і А3.
Оптимальною за критерієм Гурвіца вважається стратегія, для якої виконується умова:
Якщо λ = 0,5, то max (0,5 ⋅ 25 + 0,5 ⋅ 30; 0,5 ⋅ 25 + 0,5 ⋅ 37,5; 0,5 ⋅ 20 + 0,5 ⋅ 45) = max (27,5; 31,25; 32,5) = 32,5 і оптимальною вважається стратегія А3.
Вирішити статистичні гри, використовуючи критерії Вальда, Гурвіца і Севіджа:
Для продовження скачування необхідно зібрати картинку: