Диференціал функції »
«Диференціал функції»
Мета роботи: закріпити навичку вирішення завдань і прийоми обчислення диференціала функції,
ознайомитися з висновком формули диференціала, його геометричної інтерпретацією.
Необхідно знати: формулу і визначення диференціала, правила обчислення похідної функції.
Необхідно вміти: знаходити диференціал функції;
вирішувати завдання із застосуванням диференціала.
Згідно з визначенням похідної функції маємо: при. Використовуючи властивість межі, рівність можна записати у вигляді:, де α → 0. Отже,, де величина α ∙ Δх → 0, тому нею можна знехтувати. Отримали, що приріст функції Δy залежить від похідної і збільшення аргументу. Величина є головною частиною приросту функції.
Інакше твір називають диференціалом функції і позначають dy. Зауважимо, що
диференціал змінної дорівнює її приросту:. Отримуємо формулу диференціала функції:
Визначення. Диференціалом функції називається твір похідної на диференціал
Наприклад, обчислимо диференціал функції:
Розглянемо на прикладі складної функції. Її диференціал буде:
Геометричний сенс диференціала функції.
Розглянемо диференційовану функцію y = y (x). До графіку проведемо дотичну AN. Задамо приріст аргументу
У трикутнику ANC катет NC = AC ∙ tgNAC, так як значення похідної одно тангенсу кута нахилу дотичної
y'= tgNAC, отримуємо NC = Δх ∙ y'= dy.
Диференціал функції дорівнює приросту ординати дотичної, проведеної до графіка функцііy = y (x),
при переході аргументу від х до х + Δх.
П рименение диференціала функції до вирішення завдань
Завдання 1. Знайти приріст функції y = 2 ∙ х 2 +3 при зміні абсциси від 2 до 2,001.
Рішення: приріст функції будемо знаходити за допомогою її диференціала Δy = dy. dy = (2 ∙ х 2 +3) '∙ d х = 4 ∙ х. Нехай х = 2. х1 = 2,001.
Диференціал аргументу дорівнює його приросту d х = х1 - x = 2,001- 2 = 0,001.
Обчислимо за формулою dy = 4 ∙ 2 ∙ 0,001 = 0,008.
Відповідь: приріст функції одно 0,008
Завдання 2. Куля радіуса 20 см був нагрітий, від чого його радіус збільшився на 0,01 см. На скільки збільшиться об'єм кулі?
Рішення: скористаємося формулою обсягу кулі. Знайдемо диференціал по
формулою. За умовою завдання R = 20 см, а збільшення радіусу становить його диференціал, тобто dR = 0,01.
Підставами в формулу ці числа:.
Відповідь. обсяг збільшився на 16π см 3