Диференціал функції »

«Диференціал функції»

Мета роботи: закріпити навичку вирішення завдань і прийоми обчислення диференціала функції,

ознайомитися з висновком формули диференціала, його геометричної інтерпретацією.

Необхідно знати: формулу і визначення диференціала, правила обчислення похідної функції.

Необхідно вміти: знаходити диференціал функції;

вирішувати завдання із застосуванням диференціала.

Згідно з визначенням похідної функції маємо: при. Використовуючи властивість межі, рівність можна записати у вигляді:, де α → 0. Отже,, де величина α ∙ Δх → 0, тому нею можна знехтувати. Отримали, що приріст функції Δy залежить від похідної і збільшення аргументу. Величина є головною частиною приросту функції.

Інакше твір називають диференціалом функції і позначають dy. Зауважимо, що

диференціал змінної дорівнює її приросту:. Отримуємо формулу диференціала функції:

Визначення. Диференціалом функції називається твір похідної на диференціал

Наприклад, обчислимо диференціал функції:

Розглянемо на прикладі складної функції. Її диференціал буде:

Геометричний сенс диференціала функції.

Розглянемо диференційовану функцію y = y (x). До графіку проведемо дотичну AN. Задамо приріст аргументу

У трикутнику ANC катет NC = AC ∙ tgNAC, так як значення похідної одно тангенсу кута нахилу дотичної

y'= tgNAC, отримуємо NC = Δх ∙ y'= dy.

Диференціал функції дорівнює приросту ординати дотичної, проведеної до графіка функцііy = y (x),

при переході аргументу від х до х + Δх.

П рименение диференціала функції до вирішення завдань

Завдання 1. Знайти приріст функції y = 2 ∙ х 2 +3 при зміні абсциси від 2 до 2,001.

Рішення: приріст функції будемо знаходити за допомогою її диференціала Δy = dy. dy = (2 ∙ х 2 +3) '∙ d х = 4 ∙ х. Нехай х = 2. х1 = 2,001.

Диференціал аргументу дорівнює його приросту d х = х1 - x = 2,001- 2 = 0,001.

Обчислимо за формулою dy = 4 ∙ 2 ∙ 0,001 = 0,008.

Відповідь: приріст функції одно 0,008

Завдання 2. Куля радіуса 20 см був нагрітий, від чого його радіус збільшився на 0,01 см. На скільки збільшиться об'єм кулі?

Рішення: скористаємося формулою обсягу кулі. Знайдемо диференціал по

формулою. За умовою завдання R = 20 см, а збільшення радіусу становить його диференціал, тобто dR = 0,01.

Підставами в формулу ці числа:.

Відповідь. обсяг збільшився на 16π см 3

Схожі статті