Основні властивості функцій - студопедія
1. Парність і непарність. Функція y = f (x) називається парною для будь-яких значень х з області визначення, якщо f (-x) = f (x), і непарною, якщо f (-x) = -f (x). В іншому випадку функція називається функцією загального вигляду.
Наприклад, функція у = х 2 є парною, так як (-х) 2 = х 2; а функція у = х 3 - непарній, так як (-х) 3 = х 3. Функція у = f (x) = х 2 + х 3 є функцією загального вигляду, так як f (-x) = (-х ) 2 + (- х) 3 = х 2 - х 3. При цьому f (-x) ¹ f (x) і f (-x) ¹ - f (x).
Графік парної функції симетричний щодо осі ординат (наприклад, функції у = х 2), а графік непарної функції симетричний відносно початку координат (наприклад, графік функції у = х 3).
2. Монотонність. Функція y = f (x) називається зростаючою (спадною) на деякому проміжку, еcли більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше (менше) значення функції.
Нехай х1. х2 Î X і х2> х1. Тоді функція зростає на проміжку X, якщо f (x2)> f (х1) і убуває, якщо f (x2) В обох випадках функції називаються строго монотонними. Якщо два останніх нерівності - несуворі (тобто f (x2) ≥ f (х1) і f (x2) £ f (х1)), то функції називають відповідно неубутних і незростаюча. Наприклад, функція у = х 2 убуває для непозитивним значень аргументу (тобто на проміжку] - ¥; 0]) і зростає для невід'ємних. 3. Обмеженість. Функція y = f (x) називається обмеженою на деякому проміжку X, якщо існує таке позитивне число М, що модуль значення функції не перевищує цього числа для будь-якого аргументу з цього проміжку. (М> 0: | f (x) | £ M для будь-якого х Î X) В іншому випадку функція називається необмеженою. Наприклад, функція у = cos х обмежена на всій числовій осі, так як | cos х | £ 1. Функція у = х не обмежена на] - ¥; + ¥ [. Якщо у визначенні розглядати не модуль значення функції, а саме значення, яке має бути не менше або максимум числа М, то можна говорити про обмеженість знизу або зверху. 4. Періодичність. Функція y = f (x) називається періодичною з періодом Т ¹ 0, якщо для будь-яких х з області визначення f (х + Т) = f (x). Наприклад [3], функція у = sin х має період Т = 2p, так як Зворотна функція. Якщо для функції y = f (x) різних аргументів х1 ¹ х2 відповідають різні значення функції y1 ¹ y2. то можна визначити функцію x = j (y), яка кожному число y = f (x) ставить у відповідність число х. Таку функцію називають зворотної для f і позначають f -1. (Не слід плутати це позначення з возведенням у ступінь З цього визначення випливає, що для будь-якої строго монотонної функції існує зворотна функція. Наприклад, для функції у = а х зворотного буде функція x = lоga у (або в звичайних позначеннях залежної і незалежної змінних у = lоgа х). Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно бісектриси першого і третього координатних кутів (щодо прямої Складна функція. Нехай функція y = f (u) є функція від змінної u, визначеної на множині U c областю значень Y, а змінна u, в свою чергу, є функцією u = j (х) від змінної х, визначеної на множині X з областю значень U. Тоді задана на безлічі X функція y = f [j (х)] називається складною функцією (або композицією функцій, суперпозицією функцій, функцією від функції). Наприклад, у = lg sin х - складна функція, так як її можна представити у вигляді у = lg u, де u = sin х.
sin (х + 2p) = sin х.
(-1)).
y = x) (див. рис. 1.3).Схожі статті