Абсолютно і умовно збіжні ряди
Ряд називаетсяабсолютно сходящимся. якщо рядтакже сходиться. Якщо рядсходітся абсолютно, то він є збіжним (в звичайному сенсі). Протилежне твердження невірно.
Ряд називаетсяусловно сходящимся. якщо сам він сходиться, а ряд, складений з модулів його членів, розходиться.
Збіжність функціональних послідовностей і рядів.
Функціональний ряд - ряд, кожним членом якого, на відміну від числового ряду, є не число, а функція.
Нехай задана послідовність комплекснозначних функцій на безлічі включеному в d-мірне евклідів простір.
Функціональна послідовність сходиться поточечно до функції, якщо.
Існує функція така, що:
Факт рівномірної збіжності послідовності до функціізапісивается:
- n-ва часткова сума.
Ряд називається збіжним поточечно, якщо послідовність його часткових сум сходиться поточечно.
Ряд називається збіжним рівномірно, якщо послідовність його часткових сум м сходиться рівномірно.
Критерій Коші рівномірної збіжності
Критерій Коші для послідовності. Щоб послідовність функцій, визначених на безлічі, рівномірно сходилася на цій множині, необхідно і достатньо, щоб для всякогосуществовал номер, такий, що при всехбольше або равниходновременно для всехвиполнялось нерівність
Статечні ряди. Теорема Абеля і наслідок з неї. Радіус і інтеграл збіжності.
Функціональний ряд виду (гдеx0 и- задані числа) називається статечним поруч. Статечної ряд сходиться в точкеx = x0 завжди. Завдання - дослідити статечної ряд на збіжність. За допомогою замениt = x -x0 даний статечної ряд можна привести до віду- сходиться пріt = 0.
Теорема Абеля.Пусть статечної ряд сходиться в якійсь точці. Тоді цей ряд сходиться (абсолютно).
Доведення. Рядсходітся в точкеx1 в звичайному смислесходітсячісловая последовательностьсходітся до нулюогранічена, тобто
Розглянемо: сходиться, отже числовий ряд (для фіксірованногоx) сходиться за ознакою сравненіясходітся абсолютно на безлічі | x | <|x1 |
Следствіе.Еслі статечної ряд розходиться в точкеx2, то цей ряд розходиться.
Определеніе.ЕсліR- неотрічательное число або володіє тим властивістю, що статечної рядсходітся на безлічі | x |
Теорема.У всякго статечного ряду є радіус збіжності.
Доведення. ПустьA - безліч всіх невід'ємних чисел, в яких статечної рядсходітся.
Так як ряд сходиться в точці (можливо рівна). ОбозначімR = supA. Доведемо, чтоR - радіус збіжності степеневого ряду.
Фіксуємо за визначенням точної верхньої гранімчіслотак какряд сходиться в точкепо теоремі Абеля ряд сходиться на безлічі | x | Фіксуємо число в | x |> b> R таке що. Тобто статечної ряд розходиться в точкестепенной ряд розходиться в точкеx (по слідству з теореми Абеля) ряд розходиться на безлічі | x |> R. СледовательноR = supA - радіус збіжності степеневого ряду. Знайти радіус і інтервал збіжності статечного ряду. Рішення. Зробимо заміну: u = x + 3. Тоді ряд набирає вигляду. Обчислимо радіус збіжності: Відповідно, інтервал збіжності дорівнює (- ∞; ∞). Визначити радіус і інтервал збіжності статечного ряду. Рішення. Обчислимо радіус збіжності: Розглянемо збіжність в кінцевих точках. Якщо x = -1, то ми маємо розходиться ряд. Есліx = 1, то ряд також розходиться. Отже, вихідний рядсходітся на відкритому інтервалі (- 1; 1). Знайти радіус і інтервал збіжності ряду Рішення. Тут і. Радіус збіжності буде дорівнює У точці x = -1 ми маємо сходиться ряд. Пріx = 1 отримуємо розходиться гармонійний ряд. Таким чином, заданий ряд сходітсясходітся на напіввідкритому інтервалі [- 1; 1).Схожі статті