Умовна збіжність, примат
Розглянемо числовий ряд з нескінченним безліччю позитивних і нескінченним безліччю негативних членів. Такий ряд називається знакозмінних поруч.
Запишемо довільний знакозмінний ряд
$ A_ + a_ + a_ + ... + a_ + ... = \ sum \ limits_ ^ a_ $ $ (1) $,
де числа $ a_, a_, a_, ..., a_, ... $ є як позитивними, так і негативними, причому розташовуються вони в ряді довільно. Так само розглянемо ряд, складений з абсолютних величин членів ряду (1):
$ | A_ | + | a_ | + | a_ | + ... + | a_ | + ... = \ sum \ limits_ ^ | a_ | $ $ (2) $.
Для знакозмінних рядів справедлива наступна Теорема:
Якщо ряд $ (2) $ сходиться, то сходиться і ряд $ (1) $.
Доведення
Припустимо, що ряд $ (2) $ сходиться. Позначимо через $ S_ $ часткову суму ряду $ (1) $, а через $ \ sigma_ $ часткову суму ряду $ (2) $. Тоді: $ S_ = a_ + a_ + a_ + ... + a_ $;
$ \ Sigma_ = | a_ | + | a_ | + | a_ | + ... + | a_ | $. Так як ряд $ (2) $ сходиться, то послідовність його часткових сум $> $ має межу $ \ lim \ limits_ \ sigma _ = \ sigma $, при цьому для будь-якого $ n $ справедливо нерівність
$ \ Sigma_ \ leq \ sigma $ $ (3) $,
Оскільки члени ряду $ (2) $ невід'ємні.
Позначимо через $ S<>'_ $ Суму позитивних членів, а через $ S<>»_ $ Суму модулів негативних членів, що містяться в сумі $ S_ $.
тоді
$ S_ = S<>'_-S<>»_ $ $ (4) $,
$ \ Sigma_ = S<>'_ + S<>»_ $ $ (5) $.
Видно, що послідовності $ '_> $ і $ »_> $ не зменшуються, а з рівності $ (5) $ і нерівності $ (3) $ випливає, що вони є обмеженими: $ S<>'_ \ Leq \ sigma_ \ leq \ sigma $ і $ S<>»_ \ Leq \ sigma_ \ leq \ sigma $. Отже, існують $ \ lim \ limits_S<>'_ = S<>'$ І $ \ lim \ limits_S<>_ »= S<>»$. Але в такому випадку, в силу рівності $ (4) $, послідовність часткових сум ряду $ (1) $ має межу
$ \ Lim \ limits_S _ = \ lim \ limits_ (S<>'_-S<>»_) = \ Lim \ limits_S<>'_- \ lim \ limits_S<>»_ = S<>'-S<>»$.
Це означає, що ряд $ (1) $ сходиться. $ \ Blacksquare $
Ряд $ 1 \ frac> - \ frac> + \ frac> + \ frac> - \ frac> - \ frac> + ... $ згідно доведеною Теоремі 1 сходиться, т. К. Сходиться ряд, складений з абсолютних величин членів даного ряду: $ 1 + \ frac> + \ frac> + \ frac> + \ frac> + \ frac> + \ frac> + ... $
Нижче представлений графік поведінки перших двадцяти, складених з абсолютних величин, членів ряду
Розглянутий ознака збіжності знакозмінного ряду є достатнім, але не необхідний, т. К. Існують знакозмінні ряди, які сходяться, а ряди, складені з абсолютних величин їх членів, розходяться. Так, наприклад, ряд $ \ sum \ limits _ ^ - 1 ^ \ frac $ згідно ознакою Лейбніца сходиться, а ряд $ \ sum \ limits _ ^ \ frac $, складений з абсолютних величин його членів, розходиться.
Тому все сходяться ряди можна розділити на абсолютно і умовно збіжні.
Ряд з дійсними або комплексними членами $ \ sum \ limits_ ^ a_ $ називається абсолютно збіжним, якщо сходиться ряд $ \ sum \ limits _ ^ \ left | a_ \ right | $.
Ряд $ \ sum \ limits_ ^ a_ $ називається умовно збіжним, якщо цей ряд сходиться, а ряд $ \ sum \ limits _ ^ \ left | a_ \ right | $ розходитися.
До умовно збіжним рядах відносяться ...
- сходяться ряди, для яких ряди, складені з абсолютних величин їх членів, розходяться.
- сходяться ряди, для яких ряди, складені з абсолютних величин їх членів, сходяться.
- розходяться ряди, для яких ряди, складені з абсолютних величин їх членів, розходяться.
- розходяться ряди, для яких ряди, складені з абсолютних величин їх членів, сходяться.
Розглянемо три ситуації:
- Нехай. , Отже, в силу збіжності інтеграла, сходиться інтеграл, тобто інтеграл сходиться абсолютно. Звідси, по теоремі 1, слід збіжність інтеграла.
- Розглянемо другий випадок. Інтегруючи по частинах. отримаємо де, а сходиться абсолютно. Отже, сходиться і інтеграл сходиться при. Інтеграл при розходиться, а значить, що при інтеграл сходиться умовно.
- Розглянемо. Використовуючи критерій Коші, доведемо расходимость інтеграла. Нехай. Виберемо число таким, щоб, і покладемо
Оскільки при виконується нерівність і при і, то
Очевидно, що умова Коші не виконується і інтеграл розходиться при.
- абсолютно сходиться при;
- умовно сходиться при;
- розходиться при.