Абсолютна і умовна збіжності рядів
Візьмемо знакозмінний ряд. де числа можуть бути як позитивними, так і негативними, причому їх розташування в ряді довільно.
Розглянемо ряд, складений з абсолютних величин членів цього ряду.
Визначення: знакозмінними ряд називається абсолютно збіжним, якщо сходиться ряд. складений з модулів його членів.
З збіжності ряду випливає збіжність ряду.
Визначення: Якщо ряд розходиться, а сам знакозмінний ряд сходиться, то він називається умовно збіжним.
Так як ряд є поруч з позитивними членами, то для дослідження питання про його збіжності можна застосовувати розглянуті раннє ознаки збіжності: ознаки порівняння, Даламбера, інтегральний і ін.
Приклад 1: Дослідити ряд на абсолютну або умовну збіжність:.
Рішення: Складемо ряд з модулів: - це гармонійний ряд, він розходиться. Для дослідження на збіжність вихідного Знакозмінні ряду застосуємо ознаку Лейбніца: - перша умова виконана;
- друга умова виконано.
Таким чином. за ознакою Лейбніца ряд сходиться.
Так як ряд з модулів розходиться, а сам Знакозмінні ряд сходиться, значить, він сходиться умовно.
Приклад 2: Дослідити ряд на абсолютну або умовну збіжність:.
Рішення: Складемо ряд з абсолютних величин членів дан
ного ряду: - це узагальнено-степеневий ряд. Так як показник ступеня. то він сходиться. Якщо сходиться ряд з модулів, то Знакозмінні ряд сходиться абсолютно.
Визначення: Вираз виду називається функціональним рядом.
Визначення: Статечним поруч називається функціональний ряд вигляду де x - незалежна змінна, - фіксоване число, - постійні коефіцієнти.
При статечної ряд набуває вигляду:
.
Визначення: Областю збіжності статечного ряду називається сукупність всіх значень x. при яких даний ряд сходиться.
Знаходження області збіжності складається з двох етапів:
1) Визначається інтервал збіжності статечного ряду, тобто інтервал числової осі, симетричний відносно точки x = 0 і володіє тим властивістю, що при всіх - ряд сходиться. R - радіус збіжності знаходиться за формулою:.
2) Досліджується збіжність ряду на кінцях інтервалу збіжності, тобто в точках x = -R і x = R.
Залежно від результатів дослідження, область збіжності запишеться одним з наступних нерівностей:
Для статечного ряду виду інтервал збіжності має вигляд або.
Приклад 1: Знайти область збіжності статечного ряду.
Рішення: Знайдемо радіус збіжності степеневого ряду.
В даному випадку . тоді
Запишемо інтервал збіжності:. Досліджуємо збіжність ряду на кінцях інтервалу.
При отримуємо числовий ряд - це гармонійний ряд, він розходиться.
При отримуємо Знакозмінні ряд. Досліджуємо його на збіжність за допомогою ознаки Лейбніца: і
Обидва умови ознаки Лейбніца виконуються, отже ряд сходиться.
Розглянемо ряд з модулів його членів. Як показано вище даний ряд розходиться. Звідси можна зробити висновок, що при заданий статечної ряд сходиться умовно.
Відповідь: Область збіжності ряду.