Запишемо систему в матричної формі
А - матриця коефіцієнтів при змінних, або матриця системи, Х - матриця-стовпець змінних, В - матриця-стовпець вільних членів.
Оскільки число стовпців матриці дорівнює числу рядків матриці, то їх твір:
Є матриця-стовпець. Елементами отриманої матриці є ліві частини початкової системи. На підставі визначення рівності матриць початкову систему можна записати у вигляді:.
Теорема Крамера. Нехай - визначник матріцисістеми, а- визначник матриці, одержуваної з матріцизаменой-го стовпця стовпцем вільних членів. Тоді, якщо, то система має єдине рішення, яке визначається за формулами:
Приклад. Вирішити систему рівнянь за формулами Крамера
Р і ш е н і е. Визначник матриці системи. Отже, система має єдине рішення. Обчислимо, отримані іззаменой відповідно першого, другого, третього стовпців стовпцем вільних членів:
За формулами Крамера:
.
№7Метод Гаусса - метод послідовного виключення змінних.
Метод Гаусса полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень рядків і перестановок стовпців система рівнянь приводиться до еквівалентної системі ступеневої (або трикутного) виду, з якої послідовно, починаючи з останніх (за номером) змінних, знаходяться всі інші змінні.
Перетворення Гаусса зручно проводити не з самими рівняннями, а з розширеною матрицею їх коефіцієнтів, одержуваної приписуванням до матріцестолбца вільних членів:
.
Слід зазначити, що методом Гаусса можна вирішити будь-яку систему рівнянь виду.
Приклад. Методом Гаусса вирішити систему:
Випишемо розширену матрицю системи.
Крок 1. Змінимо місцями першу і другу рядки, щоб став рівним 1.
Крок 2. Помножимо елементи першого рядка на (-2) і (-1) і додамо їх до елементів другого і третього рядків, щоб під елементом в першому стовпці утворилися нулі.
Крок 3. Помножимо елементи третього рядка на (-0,5).
Крок 4. Змінимо місцями другу і третю рядки.
Крок 5. Змінимо місцями другий і третій стовпець. (Кроки 3, 4, 5 наведені з тим, щоб).
Крок 6. Елементи другого рядка помножимо на 3 і додамо їх до елементів третього рядка, тоді під елементом з'явиться нуль.
(Називається розширена матриця системи).
Розширена матриця приведена до трикутного вигляду. Відповідна їй система має вигляд:
З останнього рівняння; з другого; з першого.
№8Сістема рівнянь
Система m лінійних рівнянь з n змінними має вид:
довільні числа, звані відповідно коефіцієнтами при змінних і
- вільними членами рівнянь.
Рішенням системи (1) називається така сукупність n чисел
,
при підстановці яких кожне рівняння системи звертається в вірне рівність.
Теорема Кронекера - Капеллі - критерій спільності системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
Система лінійних алгебраїчних уравненійсовместнатогда і тільки тоді, когдарангеё основної матриці дорівнює рангу її розширеної матриці, причому система має єдине рішення, якщо ранг дорівнює числу невідомих, і безліч рішень, якщо ранг менше числа невідомих.
1) Якщо рішення існує, то стовпець вільних членів є лінійна комбінація стовпців матриці А, а значить додавання цього стовпця в матрицю, тобто перехід АА * не змінюють рангу.
2) Якщо RgA = RgA *. то це означає, що вони мають один і той же базисний мінор. Стовпець вільних членів - лінійна комбінація стовпців базисного мінору, ті вірна запис, наведена вище.
Приклад. Визначити спільність системи лінійних рівнянь:
.
Приклад. Визначити спільність системи лінійних рівнянь.
А =; = 2 + 12 = 14 0;
Система сумісна. Рішення: x1 = 1; x2 = 1/2
№10 Однорідною системою лінійних рівнянь називається система виду:
Нульове рішення системи (1) називається тривіальним рішенням.
однорідні системи завжди сумісні, тому що завжди існує тривіальне рішення.
Якщо існує будь-ненульове рішення системи, то воно називається нетривіальним.
Рішення однорідної системи мають властивість лінійності: Теорема (про лінійному вирішенні однорідних систем).
Нехай - рішення однорідної системи (1), - довільні константи. Тоді також є рішенням даної системи.
Сформулюємо теорему, яка дозволить дати основне визначення:
Теорема (про структуру спільного рішення).
якщо. де - число змінних системи, то існує тільки тривіальне рішення;
якщо. то існує лінійно незалежних рішень даної системи. причому її спільне рішення має вигляд. де - деякі константи.
Нехай дана однорідна система (1), тоді набір векторів розміру називається фундаментальною системою рішень (ФСР) (1), якщо:
- рішення системи (1);
Нехай ранг основної матриці. де - число змінних системи (1), тоді:
ФСР (1) існує:;
вона складається з векторів;
спільне рішення системи має вигляд.
Якщо. то ФСР не існує.
Перепишемо її у матричному вигляді:
Шляхом елементарних перетворень над рядками наведемо її основну матрицю до ступінчастого вигляду:
Таким чином ранг системи (ранг її основної матриці) дорівнює двом. Це означає, що існує лінійно незалежних рішення системи.
Перепишемо отриману систему у вигляді рівнянь:
Візьмемо і в якості головних змінних. тоді:
Підставами по черзі одиниці в якості однієї з вільних змінних: і.
Тоді загальне рішення даної системи може бути записано так:
а вектора становлять фундаментальну систему рішень.
Однорідна система рівнянь
Пропозиція 15.2 Однорідна система рівнянь
завжди є спільною.
Доведення. Для цієї системи набір чисел. є рішенням.
У цьому розділі ми будемо використовувати матричну запис системи. Пропозиція 15.3 Сума рішень однорідної системи лінійних рівнянь є рішенням цієї системи. Рішення, помножене на число, теж є рішенням.
Доведення. Нехай і служать рішеннями системи. Тоді і. Нехай. тоді
Так як. то - рішення.
Нехай - довільне число. тоді
Так як. то - рішення.
Слідство 15.1 Якщо однорідна система лінійних рівнянь має ненульовий розв'язок, то вона має нескінченно багато різних рішень.
Дійсно, множачи нульове рішення на різні числа, будемо отримувати різні рішення.
Визначення 15.5 Будемо говорити, що рішення системи утворюють фундаментальну систему рішень, якщо стовпчики утворюють лінійно незалежну систему і будь-яке рішення системи є лінійною комбінацією цих стовпців.
Визначення 15.6 Нехай - фундаментальна система рішень однорідної системи. тоді вираз
де - довільні числа, будемо називати загальним рішенням системи.
З визначення фундаментальної системи рішень випливає, що будь-яке рішення однорідної системи може бути отримано із загального рішення при деяких значеннях. І навпаки, при будь-яких фіксованих числових значеннях із загального рішення отримаємо рішення однорідної системи.
Як знаходити фундаментальну систему рішень ми побачимо пізніше, в розділі "Алгоритм знаходження рішень довільної системи лінійних рівнянь (метод Гаусса)".
Теорема 15.3 Нехай - фундаментальна система рішень однорідної системи. Тоді. де - число невідомих в системі.
Доказ Новомосковсктель може знайти, наприклад, в [1].
№11. Множення вектора на число
Твором ненульового вектора а на число х = / = 0 називається вектор, довжина якого дорівнює | x | • | а |, а напрямок збігається з напрямком а, якщо х> 0, і протилежно йому, якщо х <0.
Твором нульового вектора на будь-яке число х і твором будь-якого вектора на число нуль називається нульовий вектор.
Твір вектора а на число х позначається х • а (числовий множник пишеться зліва).
Згідно з визначенням | x • а | = | x | • | а | для будь-якого вектора а і будь-якого числа х.
На рис. 18 зображені твори вектора а на число х = 2 (вектор CD>) і на число х = -2 (вектор EF>).
Множення вектора на число має такі властивості:
1. Властивість асоціативності (асоціативної):
х • (у • а) = (х • у) • а.
2. Властивість дистрибутивности (розподільчими) щодо векторного множника: х • а + y • а = (х + у) • а.
3. Властивість дистрибутивности (розподільчими) щодо числового множника:
х • а + х • b = х • (a + b).
Якщо a = 0 або ху = 0, то рівність х (уа) = = (ху) а очевидно, так як зліва і справа стоять нульові вектори.Пусть а = / = 0, ху = / = 0 і а = OA>. Тоді вектори х (у • OA>) і (ху) OA> лежать на прямій OA>, мають довжину | x | • | y | • | OA> | і спрямовані в одну сторону: в сторону вектора а = OA>, якщо ху> 0, і в протилежну сторону, якщо ху <0. Таким образом, свойство 1 доказано.Свойства 2 и 3 доказывать не будем. Заметим лишь, что свойства 1 и 2 являются свойствами векторов на прямой. Они уже доказывались в курсе геометрии восьмилетней школы. Свойство 3 является свойством векторов на плоскости; оно тоже было доказано.
Завдання. У параллелограмме ABCD точка М є точка перетину діагоналей. Знайти множник k в кожному з наступних випадків:
1) M C> = k • CA>; 2) BD> = k • BM>; 3) AC> = k • CM>;
4) BB> = k • BD>; 5) AA> = k • CC>.
Відповідно до визначення множення вектора на число маємо (рис. 19)
1) M C> CA>. | CA | = 2 • | MC |, звідки k = - 1/2;
2) BM> BD>, | BD | = 2 • | ВМ |, звідки k = 2;
3) CM> AC>, | CM | = 1/2 • | AС |, звідки k = -2;
4) BB> = 0, BD> = / = 0, звідки k = 0;
5) AA> = 0, CC> = 0, звідки k - будь-яке число.
Вектори на площині і в просторі