Різні геометричні та фізичні величини можна представити у вигляді суми нескінченно малих елементів, що становлять ціле. Наприклад, площа плоскої області можна розбити на суму площ нескінченно малих прямокутників, а масу тіла зі змінною щільністю можна розглядати як суму мас елементів, в межах кожного з яких щільність є постійною.
Процедура підсумовування такого роду елементів і називається інтегруванням. У прикладі з площею фігури фактично підсумовуються (інтегруються) висоти прямокутників з підставами, а в прикладі з масою тіла підсумовуються щільності осередків однакового обсягу.
- Інтеграл від одиниці по проміжку [a, b] дорівнює довжині цього проміжку:
Інтеграл не залежить від символу, використовуваного для позначення змінної інтегрування:
Постійний множник можна виносити за знак інтеграла:
Інтеграл від алгебраїчної суми інтегрованих функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів:
При перестановці місцями меж інтегрування інтеграл змінює свій знак на протилежний:
Якщо нижній і верхній межі інтегрування збігаються між собою, то інтеграл дорівнює нулю:
Це властивість цілком очевидно, якщо (див. Малюнок 1).
Мал. 1. Властивість 6 (випадок).
Однак воно залишається справедливим і в тому випадку, коли - за умови, що існують інтеграли і:
Мал. 2. Властивість 6 (випадок).
Якщо функція f (x) є позитивно визначеною і інтегрованою на проміжку [a, b], то
Нехай функції f (x) і g (x) інтегровними на проміжку [a, b] і у всіх точках цього проміжку. тоді
Нехай функція f (x) інтегрована на проміжку [a, b] і задовольняє нерівностям у всіх точках цього проміжку. тоді
Вираз називається середнім значенням функцііf (x) на проміжку [a, b]. Тому властивість 8 називають теоремою про повну загальну середню.
Теорема про повну загальну середню для безперервної функції. Нехай функція f (x) неперервна і обмежена на проміжку [a, b]. Тоді на цьому проміжку знайдеться така "середня" точка, що
Узагальнена теорема про повну загальну середню. Нехай функції f (x) і g (x) інтегровними на проміжку [a, b]. Якщо при цьому функція f (x) є неперервною, то на цьому проміжку знайдеться така "середня" точка, що
Схожі статті