Додатки певного інтеграла
Обчислення площ плоских фігур
Нехай f (x) ≥0 для Розглянемо криволінійну трапецію, обмежену кривими Розіб'ємо відрізок [a, b] на частини точками, виберемо всередині кожного елементарного відрізка по точці. Замінимо криволинейную трапецію, обмежену лініями y = 0, x = xi. x = xi + 1. y = f (x), прямокутником. Якщо f - неперервна функція, то площа цього прямокутника дорівнює і при досить малому близька площі замінної трапеції. Підсумувавши, одержимо, з одного боку, наближене значення площі криволінійної трапеції, з іншого боку, інтегральну суму для інтеграла. Переходячи до межі при збільшенні числа точок розбиття, отримуємо площа S вихідної криволінійної трапеції
Назвемо трапецію найпростішої областю, якщо вона обмежена кривими x = a, x = b, y = f1 (x), y = f2 (x), і для всіх виконано нерівність f1 (x) ≤ f2 (x). Неважко бачити, що для найпростішої області
Аналогічно, якщо для всіх, то для криволінійної трапеції обмеженою кривими y = c, y = d, x = # 966; 1 (y), x = # 966; 2 (y) (найпростішої областю другого типу), маємо
У загальному випадку плоску область розбивають на найпростіші області розглянутих вище типів.
приклади
1. Знайти площу фігури, обмеженої лініями y = x 2 і x = y 2.
Ці криві перетинаються в точках A (0,0) і B (1,1). Тому
2. Знайти площу фігури, обмеженої лініями y 2 = 2x + 1 і x-y-1 = 0.
Ці криві перетинаються в точках A (0, -1) і B (4,3). В даному випадку краще розглядати найпростішу область другого типу. Тому
обчислення обсягів
Нехай область така, що для відома площа S (x) перетину площиною x = const Тоді, замінюючи обсяг області укладеної між площинами x = xi. x = xi + 1 на обсяг циліндра, отримуємо
Для тіл, отриманих обертанням кривої y = f (x) навколо осі OX, маємо. Якщо криву обертати навколо осі OY, то.
приклади
1. Трапеція обмежена кривими Обчислити обсяг тіла, отриманого обертанням цієї трапеції навколо осі
Підставляючи в формулу, отримуємо
Обчислення довжини дуги кривої
Розглянемо криву L. Розділимо криву на частини точками (xi, yi), i = 1. n. Замінимо дугу кривої між точками (xi. Yi) і (xi + 1. Yi + 1) хордою ці точки з'єднує. Тоді для довжини дуги маємо. Підсумувавши по всіх точках поділу, отримуємо
Нехай крива задана параметрично або, що те ж саме, у векторній формі. Тоді де - точка лежить між ti і ti + 1. Переходячи до межі при збільшенні числа точок розбиття, маємо
(2.1)
Аналогічно, для просторової кривої, заданої параметрично або, що, те ж саме, у векторній формі, довжина кривої дорівнює
(2.2)
Для кривої, заданої явно рівнянням, формула (2.1) набуває вигляду
(2.3)
Якщо крива задана в полярній системі координат, то
Підставляючи в формулу для довжини кривої, отримуємо
(2.4)
приклади
1. Знайти довжину дуги кривої y = ln (x), укладеної між точками Так як крива задана явно, то. Робимо заміну. Тоді і тому
2. Знайти довжину дуги кривої укладеної між точками t1 = 0 і t2 = 2π.
Так як крива задана параметрично, то і тому
.
Також рекомендується ознайомитися з можливістю вирішення інтегралів онлайн.