Ра невизначені системи лінійних рівнянь
Нехай задана система
У процесі вирішення системи лінійних рівнянь методом Гаусса розширена матриця системи
приводиться до вигляду з нулями нижче головної діагоналі. При цьому, навіть в разі спільної системи, можливі варіанти, коли матриця коефіцієнтів має трикутний вигляд, - і система буде певною, тобто має єдине рішення,
а можливий варіант, коли в результаті перетворень виходить трапецеїдальних матриця, а відповідна їй система має число невідомих перевершує число рівнянь (
В цьому випадку система буде невизначеною, тобто має безліч рішень.
Для опису всього безлічі рішень невизначеною системи необхідно ввести один або кілька параметрів. Кількість параметрів, що вводяться залежить від числа "зайвих" невідомих в останньому, самому короткому рівнянні і дорівнює різниці між кількістю невідомих і кількістю рядків в остаточній матриці, отриманої в методі Гаусса.
Рішення.
Розширена матриця заданої системи має вигляд
Щоб отримати нуль в першому стовпці другого рядка, помножимо елементи першого рядка на 2 і віднімемо поелементно з другого рядка. Потім, щоб отримати нуль в третьому рядку, віднімемо з третього рядка першу.
отримаємо
Друга і третя рядки виявилися абсолютно однаковими, тому, віднімаючи з третього рядка другу, одержимо третій рядок, що складається з нулів.
Ми можемо викреслити цей рядок і, крім того, можна розділити другий рядок на загальний множник -3.
Запишемо систему, яка відповідає отриманій матриці:
Останнє рівняння містить відразу два невідомих і не може мати однозначного вирішення. Швидше воно визначає зв'язок між цими невідомими. Тоді, вибравши в якості параметра, тобто вільної змінної, невідоме
Отже, при будь-якому значенні параметра
задовольняють всім рівнянням системи, у чому легко переконатися, і, отже, є рішенням даної системи. Оскільки ці формули описують всі безліч рішень системи, кажуть, що вони представляють загальне рішення невизначеною системи.