Ознаки подібності трикутників
- Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності
- Відношення обсягу подібних стереометричних фігур одно кубу коефіцієнта подібності
- Ставлення периметрів і довжин биссектрис. медіан. висот і серединних перпендикулярів дорівнює коефіцієнту подібності.
Приклади подібних трикутників
Подібних наступні види трикутників:
- Додатковий трикутник і антідополнітельний трикутник подібні; відповідні їх сторони паралельні.
- Даний трикутник ABC подібний своєму додатковому трикутнику; відповідні їх сторони паралельні і відносяться як 2: 1.
- Даний трикутник ABC подібний своєму антідополнітельному трикутнику; відповідні їх сторони паралельні і відносяться як 1: 2.
- Вихідний трикутник Δ A B C по відношенню до Ортотреугольник є трикутником трьох зовнішніх биссектрис [1].
- Ортотреугольник і тангенціальний трикутник подібні (Зетель, наслідок 1, §66, с. 81).
- Ортотреугольнікортотреугольніка і вихідний трикутник подібні.
- Трикутник трьох зовнішніх біссектрістреугольніка трьох зовнішніх биссектрис і вихідний трикутник подібні.
- Нехай, точки дотику вписаного в даний трикутник кола з'єднані відрізками, тоді вийде трикутник Жергонна. і в отриманому трикутнику проведено висоти. В цьому випадку прямі, що з'єднують підстави цих висот, паралельні сторонам вихідного трикутника. Отже Ортотреугольник трикутника Жергонна і вихідний трикутник подібні.
- Вище зазначені властивості подібності родинних трикутників є наслідком нижче перерахованих властивостей паралельності сторін родинних трикутників.
- Теорема. окружностно-чевіанний трикутник подібний до подерному [2]. Тут використані визначення:
- Трикутник з вершинами у других точках перетину прямих, проведених через вершини і дану точку, з описаної окружністю, називають окружностно-чевіанним трикутником.
- Трикутник з вершинами в проекціях даної точки на сторони називається подерним або педальним трикутником цієї точки.
Властивості паралельності (антипаралельності) сторін родинних трикутників
- Відповідні сторони додаткового трикутника. антідополнітельного трикутника і вихідного трикутника попарно паралельні.
- Сторони даного остроугольного трикутника антіпараллельни відповідним сторонам Ортотреугольник. проти яких вони лежать.
- Сторони тангенціального трикутника антіпараллельни відповідним протилежним сторонам даного трикутника (по властивості антипаралельності дотичних до кола).
- Сторони тангенціального трикутника паралельні відповідним сторонам Ортотреугольник.
- Нехай, точки дотику вписаного в даний трикутник кола з'єднані відрізками, тоді вийде трикутник Жергонна. і в отриманому трикутнику проведено висоти. В цьому випадку прямі, що з'єднують підстави цих висот, паралельні сторонам вихідного трикутника. Отже Ортотреугольник трикутника Жергонна і вихідний трикутник подібні.
Трикутники, на які висота, опущена з прямого кута, ділить прямокутний трикутник, подібні всьому трикутнику за першою ознакою. а значить:
- Висота прямокутного трикутника, опущена на гіпотенузу, дорівнює середньому геометричному проекцій катетів на гіпотенузу,
- Катет дорівнює середньому геометричному гіпотенузи і проекції цього катета на гіпотенузу.
- Коефіцієнт подібності - число k, що дорівнює відношенню подібних сторін подібних трикутників.
- Подібні боку подібних трикутників - сторони, що лежать навпроти рівних кутів.