Друга ознака подібності трикутників
Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого і кути між цими сторонами рівні, тоді ці трикутники подібні.
Третя ознака подібності трикутників
Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом подібним сторонам іншого, то трикутники подібні
Властивості подібних трикутників
Площі подібних трикутників співвідносяться як квадрат співвідношень їх подібних сторін.
Найпростіші задачі на подобу трикутників
Завдання.
Дано подібні трикутники:
1) АВС і KLM
АС = 17 см, АВ = 9 см, ВС = 10 см, ML = 7,5 см, LK = 6,75 см, MK = 12,75 см
2) АВС і МКС
АВ = 4 см, АС = 6 см, ВС = 5 см, МС = 3 см, СК = 2,5 см, МК = 2 см
Складіть ставлення їх подібних сторон.Определіте коефіцієнт подібності.
Рішення.
Оскільки трикутники за умовою задачі подібні, то для знаходження подібних сторін вибудуємо їх по зростанню, так як у подібного трикутника сторони також будуть мати відповідні розміри, помножені на коефіцієнт подібності
1) АВ = 9 см; ВС = 10 см; АС = 17 см; і LK = 6,75 см; ML = 7,5 см; MK = 12,75 см
2) АВ = 4 см; ВС = 5 см; АС = 6 см; і МК = 2 см; СК = 2,5 см; МС = 3 см
Тепер обчислимо співвідношення двох найменших сторін, воно буде точно таким же, як двох найбільших або середніх за величиною сторін. Це і є коефіцієнт подібності даних трикутників.
1) AB / LK = 9 / 6,75 = 1 1/3 Увага! Переведіть десяткові дроби в прості, щоб отримати вірний коефіцієнт подібності. AB / LK = BC / ML = AC / MK = 1 1/3
2) AB / MK = 4/2 = 2, AB / MK = BC / CK = AC / MC = 2
Подоба трикутників. Перша ознака подібності
Примітка. Це урок з завданнями з геометрії про подібність трикутників. Тут розміщені завдання, які викликають труднощі при вирішенні. Якщо Вам необхідно вирішити задачу з геометрії, якої тут немає - пишіть про це в форумі.
У трикутнику ABC кут A вдвічі більше кута B, а довжини протилежних цим кутах сторін відповідно рівні 12 і 8. Знайти третю сторону.
Рішення.
Для кута А побудуємо бісектрису на протилежну сторону BC. Нехай вона перетне протилежну сторону в точці К.
Виходячи з того, що AK - бісектриса, кути ABC і KAC - рівні. Оскільки кут С у них загальний, то і третій кут цих трикутників є однаковим. Таким чином, трикутники є подібними за трьома кутами.
Виходячи з того, що трикутники ABC і AKC подібні:
AC. BC = KC. AC = AK. AB
AC. BC = KC. AC
8/12 = KC / 8
KC = 64/12 = 16/3
Оскільки кут AKB = ABK (BK - біссектрісса, отже - трикутник AKB рівнобедрений)
Звідки AK = BK
Врахуємо, що BK = AC - KC, тоді
AK = BK = 12 - 16/3
Тепер повернемося до властивостей подібних трикутників
KC. AC = AK. AB
і підставимо відомі значення
(16/3) / 8 = (12 - 16/3) / AB
AB = (AK * AC) / KC = 10
Подоба трикутників. Третя ознака подібності
У цьому уроці, ви знайдете рішення задач з геометрії, які використовують правила подібності трикутників і є цікавими для вирішення. Я їх розміщую тут якщо вони викликають деякі труднощі при вирішенні у школярів.
Трикутники ABC і A1 B1 C1 подібні. Співвідношення сторін теругольніков 3: 4. Площа одного з них більше площі іншого на 14 см 2. Знайдіть площі трикутників.
Для вирішення даного завдання будемо керуватися основною властивістю подоби трикутників - всі розміри одного теругольніка подібні розмірами іншого. Спочатку опустимо на сторону а кожного трикутника висоту h. Таким чином площа першого трикутника буде виражатися формулою S1 = 1 / 2ah, а площа другого трикутника формулою S2 = 1/2 * 3 / 4a * 3 / 4h. Таким чином, можна визначити співвідношення площ трикутників:
Вище перераховані перетворення ми могли б не проводити, якщо нам відома теорема: "площі подібних трикутників відносяться як квадрат співвідношення їх сторін"
Висловимо площа одного трикутника через площу іншого:
За умовою завдання S1 -S2 = 14, таким чином
S2 = 18, отже S1 = 14 + 18 = 32
Сторони AB і DC трапеції ABCD продовжили так, що прямі AB і DC перетнулися в точці E. Таким чином, продовження сторін трапеції утворили трикутник площею 98 квадратних сантиметрів. Знайти площу трапеції, якщо її заснування ставляться один до одного як 5 до 7.
З умови задачі видно, що у нас вийшли трикутники EAD та EBC. Оскільки обидва трикутника мають загальний кут E, а підстави трапеції, що є паралельними, відповідно до теореми Фалеса, відсікають на сторонах AE і DE пропорційні відрізки відрізки, то трикутники EAD та EBC є подібними.
Опустимо з вершини E висоту на підставу AD. Вона ж буде висотою для підстави BC, оскільки підстави трапеції паралельні. Позначимо висоту для трикутника EAD як h1. а для трикутника EBC як h2.
Таким чином:
Площа трикутника EAD буде дорівнює SEAD = 1/2 * AD * h1.
Площа трикутника EBC буде дорівнює SEBC = 1/2 * BC * h2.
Оскільки трикутники подібні, то всі сторони ставляться один до одного з одним і тим же коефіцієнтом подібності. Оскільки підстави трапеції відносяться дрцг до одного як 5: 7, то і всі інші сторони ставляться один до одного з тим же співвідношенням. З цього випливає:
BC / AD = 5/7
BC = 5AD / 7
Таким чином:
SEBC = 1/2 * BC * h2.
Підставами значення сторін меншого подібного трикутника через значення сторін більшого подібного трикутника:
SEBC = 1/2 * (5AD / 7) * (5h1 / 7)
SEBC = 1/2 * AD * h1 * 25/49
Зауважимо, що за умовою задачі площа отриманого трикутника EAD дорівнює 98 сантиметрам, одночасно SEAD = 1/2 * AD * h1.
Підставами замість зазначеного вираження його значення:
SEBC = 98 * 25/49
SEBC = 50 см 2
Якщо нам відома теорема: "площі подібних трикутників відносяться як квадрат співвідношення їх сторін". то площі подібних трикутників AED і BEC будуть співвідноситися як 5 2. 7 2. Тобто:
SEBC / SEAD = 5 2/7 2
SEBC / SEAD = 25/49
SEBC = SEAD * 25/49
Оскільки площа трикутника EAD відома нам по умові і становить 98 см 2. то
SEBC = 98 * 25/49
SEBC = 50 см 2
Площа трапеції ABCD дорівнює різниці площ трикутників AED і BEC. Таким чином, площа трапеції дорівнює 98 - 50 = 48 см 2.