Однорідна лінія з витоком - ТОЕ, РЗА
Нехай дуже довга (напівнескінченної) однорідна двухпроводная лінія проходить в слабопроводящому середовищі з погонного провідність витоку. Це означає, що опір витоку на кожному кілометрі довжини лінії Rут = 1 / G = 10 5 Ом = 100 кОм (наприклад, повітря дуже сирий або злегка іонізований). Тоді, на відрізку лінії dx струм витоку
де u = u (х) - напруга в даному перетині лінії.
І нехай погонное опір проводів лінії γ = dR / dx = 0,1 Ом / км (це пара мідних проводів діаметром близько 22 мм). Тоді, на відрізку dx напруга в лінії падає на величину
Нехай до початку лінії прикладена напруга u0 = 10 кВ. визначити:
1. Напруга між проводами u (x) в міру віддалення від початку лінії.
2. Який струм i0 буде на початку лінії?
3. Закон убування струму в проводах i (х) в міру віддалення від початку лінії.
3. Яке опір лінії R0 на її вході?
4. На якій відстані х напруга в лінії зменшиться вдвічі?
Зауваження 1. В якості одиниці довжини лінії будемо брати кілометр.
Зауваження 2. Погонні параметри однорідної двухпроводной лінії - її погонное опір γ і її погонна провідність витоку g - легко розраховуються через її геометрію за відомими формулами:
де R = 2 ρl / S - опір пари проводів лінії довжиною l. S - перетин дроту, ρ - питомий опір матеріалу проводу. Таким чином
Погонное опір витоку R0 ут. (Ом / км) двухпроводной лінії, прокладеної в безмежній слабопроводящому середовищі виражається через її погонну ємність С0 (Ф / км) відомою формулою:
де λ - провідність середовища (не плутати з погонного провідність витоку g), ε0 = 8,85 · 10 -12 Ф / м - електрична постійна. отже,
Сама ж погонне ємність двопровідної лінії
де r - радіус проводів лінії,
d - відстань між проводами. Таким чином, погонне провідність витоку
Формули (1) і (2) і висловлюють погонні параметри лінії через її геометрію і характеристики матеріалів - питомий опір дроту і провідність середовища.
Приступимо до вирішення завдання. Еквівалентна схема полубесконечной лінії з витоком показана на рис. 1.
Виділимо подумки малий елемент лінії d х (рис. 2). І нехай в перетині лінії х напруга дорівнює і. а струм (поздовжній струм) дорівнює i. Тоді убутку напруги і струму вздовж лінії будуть такими
- du = idR = i γdx - це падіння напруги на елементі лінії dx.
- di = udG = ugdx - це струм витоку на елементі лінії dx.
Ділячи ліві і праві частини цих рівнянь на dx. отримуємо пару рівнянь, що зв'язують струми і напруги в лінії:
Легко бачити, що ця система дає одне звичайне диференціальне рівняння другого порядку щодо, наприклад, напруги:
Відомо, що загальне рішення рівняння (4) має вигляд
де коефіцієнти А і В визначаються граничними умовами. т. е. напруженнями на кінцях лінії. А так як лінія напівнескінченної, то гранична умова для неї тільки одне: і (0) = і0. Підстановка його в (5) дає:
Але коефіцієнт В слід покласти рівним нулю, інакше, в силу (5), напруга уздовж лінії буде необмежено зростати, чого фізично не повинно бути. Таким чином, В = 0, А = і0. і рішенням рівняння (4) буде функція:
Тепер з першого рівняння системи (3) отримуємо закон убування струму в проводах лінії з витоком:
1) струм на початку лінії
2) опір полубесконечной лінії в її нульовому перетині
З (7) випливає, що напруга між проводами лінії зменшується в 2 рази, т. Е.
Зауваження. З (7) видно, що параметр 1 / α показує, на якій відстані від початку напруга в лінії зменшується в е = 2,718 разів. В даному випадку це відстань дорівнює 1000 км.