Рівняння однорідної лінії в стаціонарному режимі - студопедія
Під первинними параметрами лінії будемо розуміти опір. індуктивність. провідність і ємність. віднесені до одиниці її довжини. Для отримання рівнянь однорідної лінії розіб'ємо її на окремі ділянки нескінченно малої довжини зі структурою, показаною на рис. 1.
Різниця напруг на початку і кінці ділянки визначається падінням напруги на резистивном і индуктивном елементах, а зміна струму на ділянці дорівнює сумі струмів витоку і зміщення через провідність і ємність. Таким чином, за законами Кирхгофа
або після скорочення на
;
.
Теорію ланцюгів з розподіленими параметрами в усталених режимах будемо розглядати для випадку синусоїдального струму. Тоді отримані співвідношення при можна поширити і на ланцюгу постійного струму, а скориставшись розкладанням в ряд Фур'є - на лінії періодичного несинусоидального струму.
Вводячи комплексні величини і замінюючи на. на підставі (1) і (2) отримуємо
;
.
де і - відповідно комплексні опір і провідність на одиницю довжини лінії.
Продифференцировав (3) по х і підставивши вираз з (4), запишемо
.
,
.
.
де - постійна поширення; - коефіцієнт загасання; - коефіцієнт фази.
Для струму відповідно до рівняння (3) можна записати
.
де - хвильовий опір.
Хвильовий опір і постійну поширення називаютвторічнимі параметрами лінії, які характеризують її властивості як пристрої для передачі енергії або інформації.
Визначаючи і. на підставі (5) запишемо
.
Аналогічне рівняння згідно (6) можна записати для струму.
Складові в правій частині співвідношення (7) можна трактувати як біжать хвилі: перша рухається і загасає в напрямку зростання х, друга - зменшення. Дійсно, в фіксований момент часу кожне з доданків є загасаючу (внаслідок втрат енергії) гармонійну функцію координати х, а у фіксованій точці - синусоидальную функцію часу.
На рис. 2 представлена загасаюча синусоїда прямий хвилі для моментів часу і. Переміщення хвилі характеризується фазовою швидкістю. Це швидкість переміщення по лінії незмінного фазового стану, тобто швидкість, з якою потрібно переміщатися уздовж лінії, щоб спостерігати одну і ту ж фазу хвилі:
.
Продифференцировав (8) за часом, отримаємо
.
Довжиною хвилі називається відстань між двома її найближчими точками, які відрізняються по фазі на радий. Відповідно до даного визначення
,
.
Відповідно до введених поняттями прямий і зворотної хвиль розподіл напруги уздовж лінії в будь-який момент часу можна трактувати як результат накладення двох хвиль: прямий і зворотній, - переміщаються уздовж лінії з однаковою фазовою швидкістю, але в протилежних напрямках:
.
де відповідно до (5) і.
Подання напруги у вигляді суми прямої і зворотної хвиль згідно (10) означає, що позитивні напрямки напруги для обох хвиль обрані однаково: від верхнього провід а до нижнього.
Аналогічно для струму на підставі (6) можна записати
.
Позитивні напрямки прямий і зворотної хвиль струму відповідно до (11) різні: позитивний напрямок прямої хвилі збігається з позитивним напрямком струму (від початку до кінця лінії), а позитивний напрямок зворотної хвилі йому протилежно.
На підставі (10) і (11) для прямих і зворотних хвиль напруги і струму виконується закон Ома
.
Розглянемо теоретично важливий випадок нескінченно довгою однорідної лінії.
Нескінченно довга однорідна лінія. Погоджений режим роботи
У разі нескінченно довгої лінії в виразах (5) і (6) для напруги і струму складові, що містять. мають бути відсутні, тому що прагнення позбавляє ці складові фізичного сенсу. Отже, в даному випадку. Таким чином, в рішенні рівнянь лінії нескінченної довжини відсутні зворотні хвилі струму і напруги. Відповідно до вищесказаного
На підставі співвідношень (12) можна зробити важливий висновок, що для нескінченно довгої лінії в будь-який її точці, в тому числі і на вході, ставлення комплексів напруги і струму є постійна величина, рівна хвильовому опору:
.
Таким чином, якщо таку лінію мислення розсікти в будь-якому місці і замість відкинутої нескінченно довгої частини підключити опір, чисельно рівне хвильовому, то режим роботи залишився ділянки кінцевої довжини не зміниться. Звідси можна зробити два висновки:
Рівняння нескінченно довгої лінії поширюються на лінію кінцевої довжини, навантажену на опір, рівний хвильовому. У цьому випадку також мають місце тільки прямі хвилі напруги і струму.
У лінії, навантаженої на хвильовий опір, вхідний опір також одно хвильовому.
Режим роботи довгої лінії, навантаженої на опір, рівний хвильовому, називається узгодженим, а сама лінія називається лінією з узгодженої навантаженням.
Відзначимо, що даний режим практично важливий для передачі інформації, оскільки характеризується відсутністю відображених (зворотних) хвиль, що обумовлюють перешкоди.
Узгоджена навантаження повністю поглинає потужність хвилі, що досягла кінця лінії. Ця потужність називається натуральною. Оскільки в будь-якому перетині узгодженої лінії опір одно хвильовому, кут зсуву між напругою і струмом незмінний. Таким чином, якщо потужність, що отримується лінією від генератора, дорівнює. то потужність в кінці ліній довжиною в даному випадку
,
звідки ККД лінії
.
Як вказувалося при розгляді чотириполюсників, одиницею загасання є Непер, відповідний загасання по потужності в раз, а по напрузі або току - в раз.
- Бессонов Л.А. Теоретичні основи електротехніки: Електричні кола. Учеб. для студентів електротехнічних, енергетичних і приладобудівних спеціальностей вузів. -7-е изд. перераб. і доп. -М. Вища. шк. 1978. -528с.
- Теоретичні основи електротехніки. Учеб. для вузів. У трьох т. За заг. ред. К.М.Поліванова. Т.2. Жуховицкий Б.Я. Негневицкая І.Б. Лінійні електричні ланцюги (продовження). Нелінійні ланцюги. -М.: Енергія-1972.-200С.
- Основи теорії кіл: Учеб. для вузів /Г.В.Зевеке, П.А.Іонкін, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. -5-е вид. перераб. -М. Вища школа, 1989. -528с.
Контрольні питання і завдання
- У чому полягає різниця між ланцюгами із зосередженими та розподіленими параметрами?
- За яким критерієм ланцюг відносять до класу ланцюгів з розподіленими або зосередженими параметрами?
- Намалюйте схему заміщення довгої лінії.
- Поясніть поняття прямого і зворотного біжучих хвиль.
- Що таке узгоджений режим роботи ланцюга з розподіленими параметрами, ніж він характеризується?
- Визначити первинні параметри лінії, якщо її вторинні параметри.
- Визначити за умовами попередньої задачі ККД лінії довжиною 200 км, вважаючи, що вона навантажена на опір, рівний хвильовому.
- Визначити. і для кабелю, у якого. . якщо частота.
- За умовами попередньої задачі визначити довжину хвилі і її фазову швидкість.