Оцінки як випадкові величини - студопедія
Способи оцінювання і оцінки
До цього часу ми припускали, що є точна інформація про розглянутої випадкової змінної, зокрема - про її розподілі ймовірностей (в разі дискретної змінної) або про функції щільності розподілу (в разі безперервної змінної). За допомогою цієї інформації можна розрахувати теоретичне математичне сподівання, дисперсію і будь-які інші характеристики, в яких ми можемо бути зацікавлені.
Однак на практиці, за винятком штучно простих випадкових величин (таких, як число очок, що випали при киданні гральної кістки), ми не знаємо точного імовірнісного розподілу або щільності розподілу ймовірностей. Це означає, що невідомі також і теоретичне математичне очікування, і дисперсія. Ми, проте, можемо потребувати оцінках цих або інших теоретичних характеристик генеральної сукупності.
Процедура оцінювання завжди однакова. Береться вибірка зі спостережень, і за допомогою відповідної формули розраховується оцінка потрібної характеристики. Потрібно стежити за термінами, роблячи істотну різницю між способом або формулою оцінювання і розрахованим по ній для даної вибірки числом, що є значенням оцінки. Спосіб оцінювання - це загальне правило, або формула, в той час як значення оцінки - це конкретне число, яке змінюється від вибірки до вибірки.
У табл. A.6 наведені формули оцінювання для двох найважливіших характеристик генеральної сукупності. Вибіркове середнє зазвичай дає оцінку для математичного очікування, а формула - оцінку дисперсії генеральної сукупності.
Характеристики генеральної сукупності
Відзначимо, що це звичайні формули оцінки математичного очікування і дисперсії генеральної сукупності, проте не єдині. Можливо, ви настільки звикли використовувати в якості оцінки для. що навіть не замислювалися про альтернативи. Звичайно, не всі формули оцінки, які можна уявити, однаково хороші. Причина, по якій в дійсності використовується. в тому, що ця оцінка в найкращій мірі відповідає двом дуже важливим критеріям - незсуненості і ефективності. Ці критерії будуть розглянуті нижче.
Отримана оцінка являє окремий випадок випадкової змінної. Причина тут в тому, що поєднання значень у вибірці випадково, оскільки - випадкова змінна і, отже, випадковою величиною є і голосовий набір її значень. Візьмемо, наприклад, - оцінку математичного очікування:
Вище ми показали, що величина в -м спостереженні може бути розкладена на дві складові: постійну частину і чисто випадкову складову:
де - вибіркове середнє величин.
Звідси можна бачити, що. подібно. має як фіксовану, так і чисто випадкову складові. Її фіксована складова -. тобто математичне очікування. а її випадкова складова -. тобто середнє значення чисто випадкової складової в вибірці.
Функції щільності ймовірності для і показані на однакових графіках (рис. A.6). Як показано на малюнку, величина вважається нормально розподіленою. Можна бачити, що розподілу, як. так і. симетричні відносно - теоретичного середнього. Різниця між ними в тому, що розподіл вже і вище. Величина. ймовірно, повинна бути ближче до. ніж значення одиничного спостереження. оскільки її випадкова складова є середнє від чисто випадкових складових у вибірці, які, мабуть, «гасять» один одного при розрахунку середнього. Далі теоретична дисперсія величини становить лише частина теоретичної дисперсії.