Нескінченно малі послідовності

5.5. Нескінченно малі послідовності

Над числовими послідовностями можна виробляти арифметичні операції. Визначимо їх.
Визначення 6. Нехай xn> і yn> - числові послідовності. Тоді числова послідовність xn + yn> називається їх суммойxn> + , xn - yn> - їх разностьюxn> - , xnyn> - їх проізведеніемxn>, а якщо для всіх номерів n виконується нерівність yn 0, то послідовність називається приватним даних послідовностей. Якщо - дійсне число, то проізведеніемxn> числовий последовательностіxn> на число називається послідовність . Таким чином, виходить той же результат, що і від множення стаціонарної послідовності <> на послідовність xn>:

Визначення 1. Числова послідовність, межа якої дорівнює нулю, називається нескінченно малою.
Розглянемо властивості нескінченно малих.
1 o. Будь-яка кінцева лінійна комбінація нескінченно малих є нескінченно малою.
Нехай числові послідовності і нескінченно малі, т. е.

а й - будь-які дійсні числа. Покажемо, що послідовність також нескінченно мала. Задамо довільно> 0 і візьмемо будь-яке число c таке, що

Тоді, згідно з визначенням меж. з (5.30) випливає, що існує такий номер n0. що для всіх номерів n> n0 виконуються нерівності

і, отже, нерівність

Це і означає, що

т. е. що послідовність нескінченно мала. Відповідне твердження для будь-якої кінцевої лінійної комбінації нескінченно малих випливає з доведеного методом математичної індукції.
2 o. Твір нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність є нескінченно малою.
нехай

і xn> - обмежена послідовність, т. е. існує таке c> 0, що для всіх номерів n0 виконується нерівність

Зафіксуємо довільне> 0, тоді як визначено межі з умови (5.33) випливає, що існує такий номер n0. що для всіх номерів n> n0 має місце нерівність

Схожі статті

Попередня ◈ Наступна