Множення матриць - студопедія
1. Множення матриць - це специфічна операція, со-ставлять основу алгебри матриць. Рядки і стовпці мат-ріц можна розглядати як вектори-рядки і вектори-стовпці відповідних розмірностей: іншими словами, будь-яку матрицю можна інтерпретувати як сукупність векторів-рядків або векторів-стовпців.
Нехай дано матриця А розміром т х п і матриця В розміром п х k. Будемо розглядати матрицю А як сукупність т векторів-рядків i розмірності п кожен, а матрицю В - як сукупність k векторів-стовпців j. кожен з яких містить по п координат:
Вектори-рядки матриці А і вектори-стовпці матриці В показані в запису цих матриць (13.3). Довжина рядка матриці А дорівнює висоті стовпчика матриці В. і тому скалярний добуток цих векторів має сенс.
Визначення 3. Твором матриць А і В називається матриця С. елементи якої cij рівні скалярним произве-деніям векторів-рядків i матриці А на вектори-стовпці j матриці В:
Твір матриць А і В - матриця С - має розмір т х k, оскільки довжина п векторів-рядків і векторів-стовпців зникає при підсумовуванні творів координат цих векторів в їх скалярних творах, як показано в формулах (13.4). Таким чином, для обчислення елементів першого рядка матриці С необхідно послідовно отримати скаляр-ні твори першого рядка матриці А на всі стовпці матриці В; другий рядок матриці С виходить як ска-лярні твори другої вектор-рядки матриці А на всі вектори-стовпці матриці В і так далі. Для зручності за-поминання розміру твори матриць потрібно перемножити відносини розмірів матриць-співмножників:. тобто розмір матриці З дорівнює добутку залишилися відносно чисел: т х k.
В операції множення матриць є характерна особ-ність: твір матриць А і В має сенс, якщо число стовпців в А дорівнює числу рядків в В. Тоді якщо А і В - прямокутні матриці, то твір В і А вже не матиме сенсу, так як в скалярних творах, формиру-чих елементи відповідної матриці, повинні беру участь-вать вектори з однаковим числом координат.
Якщо матриці А і В квадратні розміром n х n. то име-ет сенс як добуток матриць АВ, так і твір матриць BA. причому розмір цих матриць такий же, як і у ис-Ходна сомножителей. При цьому в загальному випадку перемножити-ня матриць правило перестановки не дотримується, тобто АВ ≠ ВА.
Розглянемо приклади на множення матриць.
Рішення. Оскільки число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці В, то твір матриць АВ має сенс. За формулами (13.4) отримуємо в творі матрицю розміром 3 х 2:
Твір ВА не має сенсу, так як число стовпців матриці В не збігається з числом рядків матриці А.
Рішення. Тут ми знайдемо твори даних матриць АВ і ВА:
Як видно з результату, матриця твори залежить від по-рядка розташування матриць в творі. В обох випадках твори матриць мають той же розмір, що і у вихідних сомножителей: 2 х 2.
Рішення. В даному випадку матриця В являє собою вектор-стовпець, тобто матрицю, у якій три рядки і один стовпець. Взагалі, вектори - це окремі випадки матриць: вектор-рядок довжини п являє собою матрицю з одного будів-кою і п стовпцями, а вектор-стовпець висоти n - матрицю з n рядками і одним стовпцем. Розміри даних матриць відповід-повідно 2 х 3 і 3 х 1, так що твір цих матриць визначено. маємо
У творі отримана матриця розміром 2 х 1 або вектор-стовпець висоти 2.
Рішення. Шляхом послідовного множення матриць знаходимо
2. Властивості твори матриць. Нехай А. В і С - мат-Ріци відповідних розмірів (щоб твори матриць були визначені), а # 945; - дійсне число. Тоді сліду-ющие властивості твори матриць мають місце:
2) (А + В) С = AC + ВС,
3) А (В + С) = АВ + АС,
4) # 945; (АВ) = (# 945; А) В = А (# 945; В).
У п. 1 цього розділу введено поняття одиничної матриці Є. Неважко переконатися, що в алгебрі матриць вона грає роль одиниці, тобто можна відзначити ще дві властивості, пов'язані з множенням на цю матрицю зліва і справа в разі квадрат-них матриць:
Іншими словами, твір будь-якої матриці на единич-ву матрицю, якщо воно має сенс, не змінює вихідну матрицю.