Матриця лінійного перетворення - студопедія
Розглянемо лінійне перетворення. Знайдемо зв'язок між координатами вектора х і координатами його образу у. Так як координати вектора залежать від вибору базису, то для знаходження зв'язку з цим необхідно задати базис.
Виберемо в n-вимірному просторі деякий базис,
і нехай . В силу лінійності перетворення образ у вектора х дорівнює
Тут - образи базисних векторів.
Розкладемо вектори по базисних векторах. Позначивши координати вектора в обраному базисі через, отримаємо
Підставивши рівність (6.2) в формулу (6.1) і змінивши порядок підсумовування, знайдемо
В силу єдиності розкладання вектора
по базисних векторах з рівності (6.3) і (6.4) отримаємо
або в розгорнутому вигляді,
Формули (6.5) встановлюють зв'язок між координатами перетвореного вектора у і координатами вектора х при лінійному перетворенні, тобто представляють лінійне перетворення в координатної формі.
Порівняємо векторах х і у матриці-стовпці Х і Y, складені з координат цих векторів в обраному базисі:
Тоді рівності (6.5) можна записати в матричному вигляді:
Тут - квадратна матриця, i -й стовпець якої складено з координат вектора в обраному базисі.
Таким чином доведено, що при фіксованому базисі будь лінійне перетворення можна представити і притому єдиним способом в матричної формі. Матриця А називається матрицею лінійного перетворення (в обраному базисі).
Ясно, що справедливо і зворотне твердження: будь-яке перетворення виду (6.6.), Де А - довільна квадратна матриця, а Х і Y - матриці-стовпці, є лінійним перетворенням. Дійсно, в силу властивостей операції множення матриць для будь-яких стовпців Х1 і Х2 і будь-якого скаляра a мають місце рівності
А (Х1 + Х2) = АХ1 + ах2. А (aХ1) = aАХ1.
Так як при обраному базисі між лінійним перетворенням і матрицею лінійного перетворення є взаємно-однозначна відповідність, то в тих випадках, коли базис фіксований, доцільно ототожнювати перетворення А з його матрицею А і записувати лінійне перетворення в матричної формі Y = АХ або в координатної формі ( 6.5).
При зміні базису змінюється і матриця лінійного перетворення.
Приклади. 1. Знайти матрицю лінійного перетворення, де в тому базисі, в якому дано координати векторів х і у.
○ Запишемо співвідношення, що зв'язують координати векторів х і у і відповідно матрицю лінійного перетворення А:
2. Знайти (в тому ж базисі) координати вектора, якщо лінійне перетворення А задано матрицею
○ Лінійне перетворення запишемо в матричної формі (6.6):
Вирішуючи матричне рівняння, отримаємо:,
тобто . # 9679;