Матриці лінійних перетворень
Лінійне (векторне) простір
Нехай - безліч елементів, для яких визначені операції додавання і множення на число, причому ці операції мають наступні властивості.
Для будь-яких елементів. . з безлічі
1) (комутативність складання);
2) (асоціативність додавання);
3) в безлічі існує нульовий елемент такої, що для будь-якого елемента. (Існування нульового елемента);
4) для будь-якого елемента існує елемент. такий, що (існування протилежного елементу);
Для будь-яких дійсних чисел будь-яких елементів. з безлічі;
7) Розподільчий закон;
Визначення. Безліч називається лінійним (векторних) простором, а його елементи називаються векторами.
Прикладами векторних просторів є безліч дійсних чисел, безліч векторів на площині і в просторі, матриці і т.д.
Якщо операції додавання і множення на число визначені для дійсних елементів, то лінійне (векторне) простір є речовим простором, якщо для комплексних елементів - комплексним простором.
Властивості лінійних просторів
1) У кожному лінійному просторі існує тільки один нульовий елемент.
2) Для кожного елемента існує тільки один йому протилежний елемент.
3) Для кожного елемента виконується рівність ×;
4) Для кожного і виконується рівність ×;
5) Якщо. то чи;
Визначення. Кажуть, що в лінійному просторі задано деякий лінійне перетворення А. якщо будь-якого елементу по деякому правилу ставиться у відповідність елемент.
Визначення. Перетворення А називається лінійним. якщо для будь-яких векторів і і будь-якого виконуються рівності
Визначення. Лінійне перетворення називається тотожним. якщо воно перетворює кожен елемент лінійного простору в себе.
Запишемо перетворення А для довільного елемента. А = +. Перевіримо, чи виконується правило операції додавання для цього перетворення: Очевидно, це рівність вірно тільки при тобто дане перетворення А нелінійне.
Визначення. Якщо в просторі існують вектори лінійного перетворення. то інший вектор є лінійною комбінацією векторів.
Визначення. Якщо виконується тільки при. то вектори називаються лінійно незалежними.
Визначення. Якщо в лінійному просторі є n лінійно незалежних векторів, а будь-які векторів лінійно залежні, то простір називається n-мірним. а сукупність лінійно незалежних векторів називається базисом лінійного простору.
Слідство. Будь-вектор лінійного простору може бути представлений у вигляді лінійної комбінації векторів базису.
Матриці лінійних перетворень
Нехай в - вимірному лінійному просторі з базисом. , ..., задано лінійне перетворення А. Тоді вектори. , ..., - є векторами цього простору і їх можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів базису:
В цьому випадку матриця називається матрицею лінійного преобразованіяА. Нехай = + + ... + - довільний вектор в просторі. тоді
Ці рівності називаються лінійним перетворенням в базисі. , ...,.
У матричному вигляді
Приклад. Знайти матрицю лінійного перетворення, заданого у вигляді
На практиці дії над лінійними перетвореннями зводяться до дій над їх матрицями.
Визначення. Якщо вектор перекладається в вектор лінійним перетворенням з матрицею А. а вектор в вектор лінійним перетворенням з матрицею В. то послідовне застосування цих перетворень рівносильно лінійному перетворенню, що переводить вектор в вектор (воно називається твором складових перетворень).
Приклад. Задано лінійне перетворення А. переводить вектор в вектор і лінійне перетворення В. переводить вектор в вектор. Знайти матрицю лінійного перетворення, що переводить вектор в вектор.
Зауваження. Якщо то перетворення є виродженим.