лінійні перетворення
- Визначення та основні аксіоми лінійного простору. Властивості лінійних просторів. Базис. Матриця переходу в різних базисах.
Лінійне (векторне) простір.
Як відомо, лінійні операції (додавання, віднімання, множення на число) визначено по-своєму для кожного безлічі (числа, многочлени, спрямовані відрізки, матриці). Самі операції різні, але їх властивості однакові.
Ця спільність властивостей дозволяє узагальнити поняття лінійних операцій для будь-яких множин незалежно від того, що це за безлічі (числа, матриці і т.д.).
Для того, щоб дати визначення лінійного (векторного) простору розглянемо деякий безліч L дійсних елементів, для яких визначені операції додавання і множення на число.
Ці операції мають властивості:
3) Існує такий нульовий вектор. що + = для " Î L
4) Для " Î L існує вектор = -. такий, що + =
7) Розподільчий закон (a + b) = a + b
8) a (+) = a + a
Визначення: Безліч L називається лінійним (векторних) простором, а його елементи називаються векторами.
Важливо не плутати поняття вектора, наведене вище з поняттям вектора як спрямованого відрізка на площині або в просторі. Спрямовані відрізки є всього лише окремим випадком елементів лінійного (векторного) простору. Лінійне (векторне) простір - поняття більш широке. Прикладами таких просторів можуть служити безліч дійсних чисел, безліч векторів на площині і в просторі, матриці і т.д.
Якщо операції додавання і множення на число визначені для дійсних елементів, то лінійне (векторне) простір є речовим простором, якщо для комплексних елементів - комплексним простором.
Властивості лінійних просторів.
1) У кожному лінійному просторі існує тільки один нульовий елемент.
2) Для кожного елемента існує тільки один протилежний елемент.
3) Для кожного Î L вірно 0 × = 0
4) Для кожного a Î R і Î L вірно a × =
5) Якщо a × =. то a = 0 або =
- Лінійні перетворення. Матриця лінійного перетворення.
Визначення: Будемо вважати, що в лінійному просторі L задано деякий лінійне перетворення А, якщо будь-якого елементу Î L по деякому правилу ставиться у відповідність елемент А Î L.
Визначення: Перетворення А називається лінійним. якщо для будь-яких векторів Î L і Î L і будь-якого a вірно:
Визначення: Лінійне перетворення називається тотожним. якщо воно перетворює елемент лінійного простору сам в себе.
Приклад. Чи є А лінійним перетворенням. А = +; ¹ 0.
Запишемо перетворення А для будь-якого елемента. А = +
Перевіримо, чи виконується правило операції додавання для цього перетворення А (+) = + +; A () + A () = + + +. що вірно лише при = 0, тобто дане перетворення А нелінійне.
Визначення: Якщо в просторі L є вектори лінійного перетворення. то інший вектор є лінійною комбінацією векторів.
Визначення: Якщо тільки при a = b = ... = l = 0, то вектори називаються лінійно незалежними.
Визначення: Якщо в лінійному просторі L є n лінійно незалежних векторів, але будь-які n + 1 векторів лінійно залежні, то простір L називається n-мірним. а сукупність лінійно незалежних векторів називається базисом лінійного простору L.
Слідство: Будь-який вектор лінійного простору може бути представлений у вигляді лінійної комбінації векторів базису.
Матриці лінійних перетворень.
Нехай в n- мірному лінійному просторі з базисом. , ..., задано лінійне перетворення А. Тоді вектори А, А, ..., А - також вектори цього простору і їх можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів базису:
Тоді матриця А = називається матрицею лінійного перетворення А.
Якщо в просторі L взяти вектор = x1 + x2 + ... + xn. то A Î L.