Метод Фур'є (метод поділу змінних) - студопедія
Розглянемо процедуру методу Фур'є на прикладі рішення змішаної задачі для рівняння теплопровідності в разі однієї просторової змінної.
Завдання 1. Знайти рішення однорідного рівняння
задовольнить початковому умові
і нульовим (однорідним) граничним умовам:
Суть методу полягає в тому щоб шукати нетривіальні рішення рівняння (1), що задовольняють граничним умовам (3), у вигляді
Підставляючи (4) в (1), отримаємо
Оскільки ліва частина рівняння є функцією тільки від. а права тільки від. то рівність можливо, якщо вони рівні постійної:
Звідси отримуємо два звичайних диференціальних рівнянь:
і функція задовольняє умовам. .
Таким чином, для визначення функції маємо задачу на власні значення: знайти ті значення параметра. при яких існують нетривіальні рішення задачі
Розглянемо три випадки, коли.
1. Нехай. Знайдемо рішення диференціального рівняння.
. - два речових кореня. Загальне рішення має вигляд
. Вимога граничних умов означає:
Визначник системи. отже, і при існують тільки тривіальні рішення.
2. Нехай. Знайдемо рішення диференціального рівняння.
. - один кратний корінь. Загальне рішення має вигляд
. Вимога граничних умов означає:
Звідки випливає, що і при існують тільки тривіальні рішення.
3. Нехай. Знайдемо рішення диференціального рівняння.
. - два комплексно-сполучених кореня. Загальне рішення має вигляд
. Вимога граничних умов означає:
Система має нетривіальне рішення тоді і тільки тоді, коду її визначник дорівнює нулю або. отже,. Таким чином, нетривіальні рішення задачі (7) можливі тільки якщо
Із системи (*), отримуємо і, отже,
будуть власними функціями задачі Штурма-Ліувілля (7).
Власні функції визначені з точністю до постійного множника.
Перейдемо до вирішення рівняння (5). При воно має вигляд
Вирішуємо це рівняння поділом змінних. звідки, або
де - довільні постійні. Таким чином, згідно з (4) тільки функції
Задовольняють рівняння (1) і граничним умовам (3).
Утворити формальний ряд (як суму рішень)
і будемо вимагати, щоб функція задовольняла початковій умові (2). отримаємо
Отриманий ряд представляє собою розкладання функції в ряд Фур'є по синусах в інтервалі. Коефіцієнти цього ряду визначаються за відомими формулами
Отже, функція, певна у вигляді ряду (8), коефіцієнти якого визначено формулами (9) є рішення поставленої задачі (1) - (3).
Знайти рішення неоднорідного рівняння теплопровідності
задовольнить початковому умові
і нульовим (однорідним) граничним умовам:
Припустимо, що функція неперервна, має безперервну похідну і для всіх виконується умова.
Рішення завдання (10) - (12) будемо шукати у вигляді
де - є рішення задачі
а функція - є рішення задачі
Завдання (15) - це задача 1 і її рішення відоме.
Розглянемо задачу (14). Будемо шукати її рішення у вигляді ряду
за власними функціями задачі відповідної Штурма-Ліувілля (7)
Підставами (16) в диференціальне рівняння задачі (14) \, для цього знайдемо похідні:
В результаті підстановки отримаємо
Розкладемо функцію в ряд Фур'є по синусах
До отриманих диференціальних рівнянь треба додати початкові умови задачі (14):
Вирішуємо звичайне диференціальне рівняння методом Бернуллі.
Підставляючи (17) в (16), отримаємо рішення задачі (14)
Функція буде вирішенням завдання 2.
Знайти рішення неоднорідного рівняння
задовольнить початковому умові
і неоднорідним граничним умовам:
Введемо нову невідому функцію. де
Функцію знаходимо, як рішення рівняння
з початковими умовами
і крайовими умовами
тоді рішення зведеться до задачі 2.
Для існування класичного рішення задачі 3, необхідно, щоб функції. . були безперервними і виконувалися умови узгодженості. .
Для функції. безперервної в замкнутій області справедливий принцип максимального значення.
Теорема. Якщо функція. задовольняє рівняння теплопровідності в точках області. то максимальне і мінімальне значення функції досягаються або в початковий момент часу. або в точках кордону на відрізку і.
З принципу максимуму слідують дві теореми
Теорема. (Єдиності) Рішення завдання 3 в прямокутнику єдино.
Теорема. Рішення завдання 3 безперервно залежить від початкових і граничних функцій.
- це завдання (14), в якій. . Рішення має вигляд: